طريقة إكمال المربع لحل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

هذه الطريقة تستعمل لحل المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد و أيضا لتعميل ثلاثيات الحدود. الشكل في هذه التقنية هو كتابة المعادلة التربيعية على الصورة : x² + bx = c و المبدأ هو إكمال المربع في العدد x² + bx و بالتالي الحصول على مربع كامل في الطرف الأيسر من المعادلة و على عدد أخر في الطرف الأيمن من خلاله نناقش حلول المعادلة :

شرح طريقة إكمال المربع :

بصفة عامة :

نعتبر التعبير x² + bx حيث x يوجد في حدي المجموع، كيف يمكنك أن تكتبه على شكل مجموع أو فرق لمربع كامل و عدد تابث ؟

هندسيا، يمكن أن نفكر هكذا :

كما تلاحظون يمكن ترتيب التعبير x² + bx في مربع مساحته x+b/2)²) منقوص منه المربع الصغير ذو المساحة b/2)²).

يمكن أن نكتب : x² + bx = ( x + b/2 )²- ( b/2 )² أي أن :

x + b/2)²)	=		b/2)²) +		x² + bx
			"إكمال المربع"

جبريا، يمكن أن نتصرف هكذا :

x² + bx = x² + bx + (b/2)² - (b/2)²

= (x + b/2 )² - (b/2)²

خلاصة : لكي نكمل المربع في تعبير من النوع ... + x² + bx نضيف و نطرح منه مربع نصف العدد b.

مثال تطبيقي :

أكمل المربع في التعبير : x² + 6x + 7

في هذا التعبير لدينا b = 6 ، نضيف و نطرح منه مربع نصف العدد 6 :

نعمل بإستعمال المتطابقة الهامة رقم 1 و نحسب الحدين التابثين :

نحصل إذن، على : x² + 6x + 7 = (x+3)² - 2

أمثلة محوسبة :

قم بمسك و تحريك النقطتين بلون أحمر و أزرق :

حل معادلة من الدرجة الثانية بإستعمال طريقة إكمال المربع :

سنستغل التقنية السابقة لحل معادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد، فقط إتبع المراحل التالية :

مثال : حل في IR المعادلة التالية : 5x² – 4x – 2 = 0
إستعمل طريقة إكمال المربع

الجواب :
أولا : إقسم طرفي المعادلة على معامل الحد من الدرجة الثانية أي على 5 :

x² – 0.8x – 0.4 = 0

a = 1 ; b = -0.8 ; c = -0.4

ثانيــا : قم بتنقيل الحد التابث (0.4-) إلى الطرف الأيمن من المعادلة :

x² – 0.8x = 0.4

ثالثا : أضف الى طرفي المعادلة الأخيرة مربع نصف العدد ، في هذه الحالة لدينا b = -0.8 :

(b/2)² = (-0.8/2)² =(- 0.4)² = 0.16

x² – 0.8x + 0.16 = 0.4 + 0.16

x – 0.4)² = 0.56)

رابعا : حل المعادلة x - 0.4 )² = 0.56 )

المعادلة x - 0.4 )² = 0.56 ) تعني أن : x - 0.4 = √0.56 أو x - 0.4 = - √0.56
تعني أن : x = √0.56 + 0.4 أو x = -√0.56 + 0.4

للمعادلة حلين نكتب : { S = { -√0.56 + 0.4 ; √0.56 + 0.4

المزيد من الأمثلة و الشروحات في البرمجية و الفيديو التاليين : إمسك وحرك النقطة السوداء على مؤشر المزلقة ، تتبع مراحل الإنجاز لطريقة حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد بإستخدام إكمال المربع :
طريقة إكمال المربع فيديو :