جدوع: ماهي الدالة العددية ؟ (عموميات حول الدوال)

هذا الدرس يتطرق إلى مفهوم دالة عددية و يتناول بعض الأمثلة  التوضيحية التي من خلالها سنجيب على السؤال : ماهي الدالة العددية ؟ ونفهم ماهية بعض المصطلحات المتعلقة بالدوال العددية. و إليك فهرس الدرس.

الفهرس :

1. نبدة تاريخية.
2. ماهي الدالة العددية ؟
3. ماهو السابق - ماهي الصورة ؟
4. أمثلة لدوال عددية إعتيادية
5. مدخل لمجموعة التعربف

من التاريخ : تمت صياغة المصطلح "function" باللغة الإنكليزية أو "fonction" باللغة الفرنسية من قبل العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني. وقد تم استخدام هذا المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.

ماهي الدالة العددية ؟
شئ من هذا القبيل ...

يمكن أن نشبه دالة ب ألة نضع شيئا ما في البداية في قلبها ولنسميه السابق. و نلاحظ ما يصدر في النهاية و لنسميه الصورة . بالظبط مثل ما تأخذ ليمون وماء وسكر وتضعه في الخلاط : النتيجة عصير الليمون هكذا الدالة تجري عمليات على المتغير x وتظهر نتيجة ما في المحصلة.

السابق، العلاقة، الصورة:

سنرى الأن مثال لدالة عددية بسيطة نستعمل فيها هذه الكلمات الثلاث : السابق، العلاقة و الصورة.

تذكر ما يلي :

·         السابق : ما نضعه في البداية

·         العلاقة : ما يربط بين السابق و الصورة ( نأخد في هذا المثال : الضرب في 2)

·         الصورة : ما نحصل عليه في النهاية

أمثلة لدوال إعتيادية :

نقصد بالدوال الإعتيادية الدوال موضوع برنامج الجدع المشترك بصنفيه العلمي و الأدبي. الدالة الخطية الواردة في المثال السابق بالإضافة للدالة التألفية تمت معالجتها في السلك الإعدادي.
الدالة :

 تسمى دالة المربع

و الدالة :

 تسمى دالة المقلوب

قضية الرمز "x"

يستعمل "x" فقط للدلالة على المتغير الحقيقي أي ما نضعه في البداية ويمكن إستبداله بحروف أخرى إن شئنا. كذلك نفس الشئ بالنسبة للحرف  f يمكننا إستبداله هو الأخر ب  gأو h ....

 مدخل لحيز التعريف أو مجموعة التعربف :

بالدالة "h(age) = age x 20" سيكون بدون معنى حساب صور الأعداد السالبة، فلا يمكننا حساب طول شجرة عمرها 3- سنوات مثلا.

في هذه الحالة يتوجب علينا تحديد مجموعة الإنطلاق للقيم العددية التي سنحسب صورها 

كذلك في بداية الدرس قمنا بتشبيه الدالة بالألة...، و كلنا يعلم أن الألة مصممة لصنع منتوج ما (ما نحصل عليه في النهاية) شريطة أن نضع في جوفها ما تقبله (ما نضعه في البداية): فمثلا إذا وضعنا شيئا ما في جوف الألة و لا يناسبها فقد تخربه او قد تتعطل الألة.

الدالة كذلك لا تقبل أحيانا ببعض القيم العددية و يستعصي علينا أن نربط العنصر " ما نضعه في البداية " بالعنصر " ما نحصل عليه في النهاية " :

فمثلا العنصر 4 مرتبط بالعنصر 16 كما في مثال دالة المربع. وكل عدد من مجموعة الأعداد الحقيقية يمكن أن نحسب صورته بدالة المربع. و بالتالي ستكون مجموعة المنطلق أو ما يسمى ب مجموعة تعريف دالة المربع هي مجموعة الأعداد الحقيقية كلية.

في دالة المقلوب لا يمكننا حساب صورة 0 ( القسمة على 0 غير ممكنة في الرياضيات)، لكننا يمكن أن نحسب مقلوب أي عدد أخر مخالف للصفر و بالتالي مجموعة تعريف دالة المقلوب هي مجموعة الأعداد الحقيقية كلية بإستثناء الصفر. 

ما يميز الدالة : 

1. لكل دالة مجموعة إنطلاق (أو مجموعة تعربف : مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير x) غالباً ما تدعى X.
2. لا يمكن لعنصر من مجموعة الإنطلاق X ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة الوصول Y . 
3. لكل دالة مجموعة وصول غالباً ما تدعى Y.
4. يمكن لعنصر من مجموعة الوصول Y أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة الإنطلاق  X . 

تعريف :

الدالة العددية هي كائن رياضي يمثل علاقة تربط كل عنصر من مجموعة تدعى الإنطلاق بعنصر واحد وواحد فقط من مجموعة تدعى الوصول

أمثلة :