جدوع: المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

لقد تعلمنا سابقاً، في المعادلات  من الدرجة الأولى و التي يكون المجهول فيها من الدرجة الأولى أن حل المعادلة يعني إيجاد قيمة المجهول وفي حالة المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد  لا يختلف الأمر ، فحلها يعني إيجاد قيمتي (سنجد أن للمجهول  قيمتين لأن المعادلة تربيعية) المجهول الوارد فيها.

1 - ما هي المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ؟

المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد كما يدل إسمها على ذلك تحتوي على مجهول واحد ( مثلا x ) وتكون من درجة المربع أي انها تتضمن الحد ax² و شكلها العام هو ax² + bx + c = 0.  و في حالة ما إذا كان a مساويا ل 0 فإن المعادلة تصبح تألفية ( معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد ).

الشكل العام للمعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد :

• a، b، c  تسمى معاملات المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
• a يسمى المعامل الرئيسي
• c يسمى المعامل الثابت
• x هو المجهول في المعادلة

أمثلة :

• 2x²  +  5x  +  3  = 0 هي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد و لدينا : a = 2 ; b = 5 ; c = 3
• x²  - 3x  =  0 هي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد و لدينا : a = 1 ; b = 3 ; c = 0
• 5x - 3 = 0 هي ليست معادلة من الدرجة الثانية بمجهول و إنما معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد لأن : a = 0.

2 - كيف نحل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ؟

هناك عدة طرق لحل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد : من بينها طريقة التعميل بواسطة العامل المشترك ( تجد الطريقة في هذا الدرس ) ، طريقة القسمة الإقليدية ( طريقة إنجاز القسمة الإقليدية تجدها هنا ) ، و طريقة المميز أو المحددة.

و ماهو هذا المميز او المحددة ؟

باللغة الفرنسية يسمى Discriminant و هو عدد يحسب إنطلاقا من معاملات المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد

 (أي : a، b، c) و بحساب هذا العدد "المميز" يمكننا إيجاد حلول المعادلة إذا كانت هذه المعادلة فعلا تقبل حلولا.

نرمز لمميز المعادلة غالبا ب : Δ ( نقرأ دلتا Delta )

كيف نحسب Δ مميز المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ؟

يحسب بالشكل التالي :

مثلا في المعادلة 5x² + 6x + 1 = 0 نحسب المميز بالكيفية التالية :

لدينا : a = 5 ; b = 6 ; c = 1 ،

إذن : Δ = b² - 4ac = 6² - 4.5.1 = 36 - 20 = 16

و الأن بعد أن عرفنا كيف نحسب مميز المعادلة... 

كيف يمكننا إذن حل المعادلة ؟

هناك ثلاث حالات يمكن أن يكون عليها المميز Δ : إما سالبا قطعا او موجبا قطعا او مساويا ل 0.

إذا كان Δ < 0 : فإن المعادلة لا تقبل أي حل في مجموعة الأعداد الحقيقية أي أن مجموعة حلولها تكون فارغة.

إذا كان Δ > 0 : فإن المعادلة تقبل حلين مختلفين ويحسبان بالكيفية التالية : 

إذا كان Δ = 0 : فإن المعادلة تقبل حلا وحيد هو:  b/2a-.

في مثال المعادلة 5x² + 6x + 1 = 0 لدينا  Δ > 0 لأن 16 > 0 و بالتالي المعادلة تقبل حلين في مجموعة الأعداد الحقيقية هما :

x = [ -6 + √16 ]/10   و x' = [ -6 - √16  ]/10

أي أن : x = ( -6 + 4 )/10 = -0,2  أو x' = ( -6 - 4 )/10 = -1.

إذن للمعادلة حلين هما :0,2- و  1-.

نتحقق من الحلين :