جدوع: طرق حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد : ax²+bx+c=0

يمكن حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد أو المعادلة التربيعية بعدة طرق، منها التعميل (أو التحليل) إلى عوامل جداء  ومنها طريقة إكمال المربع الكامل ، وطريقة الصيغة التربعية أو المميز(طريقة دلتا Delta) ثم طريقة الحل المبياني كل هذه الطرق تختلف عن بعضها قليلاً وفي أمور تفصيلية أما أساسها فهو واحد. سنطبق هذه الطرق المختلفة على مثال واحد ولنقارن بينها :

ولتكن المعادلة المراد حلها مثلا هي :

x² - 6x + 5 = 0

فهرس الدرس :
1 - حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد : طريقة التحليل إلى عوامل جداء.
2 - حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد : طريقة  إكمال المربع الكامل.
3 - حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد : طريقة دلتا ( المحددة أو المميز).

تذكير :

المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد أو المعادلة التربيعية هي كل تعبير جبري على شكل ax² + bx + c = 0 حيت a و b و c أعداد حقيقية و a مخالف ل 0 و x هو المجهول. وحلها يعني إيجاد قيم المجهول x التي تحقق المعادلة إن كانت هذه الأخيرة تقبل حلولا.

الطريقة الأولى : تحليل المعادلة من الدرجة الثانية الى عواملها.

الطريقة بسيطة وتستدعي منك فقط:
- كتابة المعادلة على شكلها العام او صيغتها النموذجية ( اي على شكل ax² + bx + c = 0 )، ثم تحديدمعاملاتها ( بمعنى تحديد a وb و c ).
 شاهد شرح طريقة كتابة المعادلة من الدرجة الثانية (المعادلة التربيعية) بصيغتها النموذجية او شكلها العام  بالفيدبو  :
 -  البحث عن عددين  ناتج ضربهما هو a × c، و ومجموعهما هو b.

مثلا في المعادلة x² - 6x + 5 = 0 لدينا a = 1 ; b = -6 ; c = 5
بسهولة يمكننا ملاحظة ان و 6- = (5-) + (1-) و أن  5 = (5-) × (1-)
العددين المطلوبين هما 1- و 5-
- حلي المعادلة هما  مقابلي العددين الذين وجدناهما في المرحلة الثانية اي 1 و 5.

جرب ذالك....

للمزيد من التفصيل و الشروحات لهذه الطريقة المرجو الإنتقال لهذه الصفحة.أو مشاهدة جملة من الأمثلة لهذه الطريقة بالشرح على الفيديو التالي :

الطريقة الثانية :  إكمال المربع الكامل لحل المعادلة من الدرجة الثانية.

تذكير :

x² = a     يعني أن :     x = √a   أو   x = -√a

هذه الطريقة و كما يدل على ذالك إسمها تعتمد على إكمال المربع في الطرف الأيسر من المعادلة حتى يتسنى لنا تطبيق القاعدة الواردة في التذكير. سنحاول تطبيق ذالك على معادلتنا x² - 6x + 5 = 0 :

أولا : x² - 6x + 5 = 0 تعني أن x² - 6x + ... = -5
لاحظوا أني قمت بتنقيل الحد الثابت 5 إلى الطرف الأيمن من المعادلة مع تغيير إشارته و تركت مساحة فارغة في الطرف الأيسر.

ثانيا : لقد تعمدت ان أترك مساحة فارغة في الطرف الأيسر من المعادلة حتى استطيع إكمال المربع في هذا الطرف بإستعمال المتطابقات الهامة.
لكن كيف ذالك ؟
تذكر أن :  a - b)² = a² - 2ab + b² ). لهذا سأقسم 6 على 2 و أرفع الخارج إلى المربع.
أي أن : 6 مقسوم على 2 يساوي 3 و أرفع ثلاثة إلى المربع لأحصل على 9 و أكتب :

x² - 6x + 9

وطبعا هذا التعبير المحصل عليه متطابقة هامة و اكتب :

x² - 6x + 9 = ( x - 3 )²

وحيث أني أضفت 9 إلى الطرف الأيسر من المعادلة يتوجب عليا كذلك إضافة 9 إلى الطرف الأيمن منها و اكتب :

 x - 3 )² = -5 + 9 )

 x - 3 )² = 4 )

x - 3 = 2 أو x - 3 = -2

x  = 5 أو x  = 1

إذن كما تلاحظون وجدنا نفس الحلين 1 و 5.

للمزيد من الشروحات بإستعمال هذه الطريقة تفضل بمتابعة الفيديو التالي :

الطريقة الثالثة : حل المعادلة من الدرجة الثانية بإستعمال المميز.

نستعمل المميز أو الصيغة التربيعية لحل المعادلة من الدرجة الثانية كما يلي :

لدينا x² - 6x + 5 = 0 و a = 1 ; b = -6 ; c = 5

Δ = b² - 4ac =( - 6)² - 4.1.5 = 36 - 20 = 16

لدينا  Δ > 0 : إذن للمعادلة حلين هما :

x = [ 6 + √16 ]/2   و x' = [ 6 - √16  ]/2

أي أن : x = ( 6 + 4 )/2 = 5  أو x' = ( 6 - 4 )/2 = -1.

إذن للمعادلة حلين هما :5 و  1.

المزيد من الشروحات و الأمثلة تابعوها على الفبدبو التالي :