جدوع: كيف نعمل ثلاثية الحدود : ax² + bx + c ( طريقة 1 )

في هذا الدرس نتعرف على الطريقة الأولى لتعميل ثلاثية الحدود ax² + bx + c : الطريقة تعتمد تحديد المعاملات في ثلاثية الحدود و على التعميل بواسطة العامل المشترك و التي سنستعرضها من خلال مجموعة من الأمثلة و التمارين المحلولة :

الفهرس  + المتطلبات القبلية :

1 - تذكير.
2 - طريقة تعميل ثلاثية الحدود ax² + bx + c.

يتطلب منك لفهم الطريقة أن تكون عارفا للحدودية من الدرجة الثانية ( تجد الدرس على هذه الصفحة ) وأن تكون قادرا على إبراز العامل المشترك و التعميل بواسطته ( التذكير )

1 - تذكير:

التعميل هو كتابة مجموع على شكل جداء و نستعمل القاعدة التالية و التي تعتمد على إبراز العامل المشترك ثم التعميل بواسطته :

 

أمثلة :

المقدارين الجبريين ( x + 2 ) و ( 4x - 6 ) يسميان عاملي الجداء ( x + 2 )( 4x - 6 )

2 - طريقة تعميل ثلاثية الحدود ax² + bx + c:

سنستعمل القاعدة السابقة لتعميل ثلاثية الحدود ax² + bx + c : بمعنى أننا سنحلل المجموع ax² + bx + c على شكل الجداء التالي : ( x + d )( x + e ) حيث a و b و c و d و f أعداد حقيقية.
نبدأ مثلا بالحدودية : x² + 3x - 4 و التي يمكن أن نعملها على شكل ( x + 4 )( x - 1 )، لأن :

                       (x+4)(x-1)   = x(x-1) + 4(x-1)

                                        = x²  - x + 4x - 4

                                        = x² + 3x - 4

لكن... كيف نحصل على عاملي الجداء (x - 1 ) و ( x + 4 ) حتى نستطيع كتابة

  x² + 3x - 4 على شكل (x + 4 )( x - 1 ) ؟

الطريقة :
الطريقة يمكن إختصارها في اربعة مراحل بإستعمال معاملات الحدودية من الدرجة الثانية (نستعمل a و b و c )

مرحلة 1 : أوجد عددين جداءهما يساوي a × c  ومجموعهما يساوي b

في مثال ثلاثية الحدود x² + 3x - 4  لدينا : a = 1 و b = 3 و c = -4
و لدينا 4- = ( 4-) ×1 = a × c و 3 = b

 (-1) + 4 = 3 = b  ;;  (-1) × 4 = -4 = a x c   : بسهولة يمكننا ملاحظة أن

العددين المطلوبين إذن هما 1- و 4.

مرحلة 2 : أكتب الحد من الدرجة 1 بدلالة 4x و x- ، بمعنى : x + 4x = 3x-

x² + 3x - 4 =  x² - x + 4x  - 4 

مرحلة 3 : نعمل ب x في الحدين الأولين من التعبير x² - x + 4x  - 4 ونعمل ب 4 في الحدين الأخيرين في نفس التعبير.

(x² - x = x( x - 1  و (4x - 4 = 4( x - 1

نحصل على : (x² + 3x - 4 = x ( x - 1) + 4 ( x - 1

مرحلة 4 : يكفي أن نعمل ب x - 1 حتى نحصل للتعميل النهائي لثلاثية الحدود x² + 3x - 4.

(x² + 3x - 4 = ( x - 1 )( x + 4 .

مثال اخر : عمل الحدودية 2x² + 7x + 3

 مرحلة 1 : أوجد عددين جداءهما يساوي a × c  ومجموعهما يساوي b

في ثلاثية الحدود 2x² + 7x + 3  لدينا : a = 2 و b = 7 و c = 3
و لدينا 6 = 3 × 2 = a × c و 7 = b

 1 + 6 = 7 = b  ;;  1 × 6 = 6 = a × c   :  يمكننا ملاحظة أن

العددين المطلوبين إذن هما 1 و 6.

 مرحلة 2 : أكتب الحد من الدرجة 1 بدلالة 6x و x ، بمعنى : 6x + x = 7x

 2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x  + 3 

 مرحلة 3 : نعمل ب 2x في الحدين الأولين من التعبير 2x² + 6x + x  + 3 ونعمل ب 1 في الحدين الأخيرين في نفس التعبير.

(2x² + 6x = 2x( x + 3  و (x  + 3 = 1( x + 3

نحصل على : (2x² + 7x + 3 = 2x ( x + 3) + 1 ( x + 3

مرحلة 4 : يكفي أن نعمل ب x + 3 حتى نحصل للتعميل النهائي لثلاثية الحدود 2x² + 7x + 3.

 (2x² + 7x + 3 = ( x + 3 )( 2x + 1 .

ملاحظة وتنبيه:
هذه الطريقة قد لا تصلح دائما و بالتالي يمكننا الإستعانة بطرق أخرى ستكون موضوع دروس لاحقة.