جدوع: الترتيب و المتراجحات : المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

في هذا الدرس نتعرف على قواعد الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية بعلاقة مع العمليات الأربع و نتطرق إلى الترتيب و المربع، الترتيب و المقابل، الترتيب و المقلوب، الترتيب و الجدر المربع. في الأخير نتعرف على المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد و على طريقة حل المتراجحات:
فهرس الدرس :

1. المتفاوتات الأربــــع
2. الترتيب و الجمع - الترتيب و الطرح
3.  الترتيب و الضرب - الترتيب و القسمة
4. الترتيب و المقابل
5. الترتيب و المقلوب
6. الترتيب و المربع - الترتيب و الجدر المربع
7.  المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

المتفاوتات الأربــــع :

الرمز	التسمية	مثال
>	أصغر قطعا	x+3 > 2
<	أكبر قطعا	7x < 28
≥	أصغر من أو تساوي	5 ≥ x-1
≤	أكبر من أو تساوي	2y+1 ≤ 7

الأمثلة الواردة في العمود الأول على اليسار في الجدول أعلاه تسمى متفاوتات.

a < b و a > b و a ≥ b و a ≤ b تسمى متفاوتات.
نقول أننا رتبنا العددين a و b تصاعديا أو تنازليا.

الترتيب و الجمع - الترتيب و الطرح :

في متفاوتة يمكن أن نضيف ( أو نطرح ) من طرفيها نفس العدد الحقيقي دون أن تتغير هذه المتفاوتة.

 a + c < b + c   فإن  a < b   إذاكان             * 

a − c < b − c   فإن  a < b   إذاكان              *
a + c < b + d   فإن c < d و   a < b   إذاكان  *

تمرين تطبيقي : بين أنه إذا كان x ≤ 3  و y ≤ -1  فإن : x + y ≤ 2.

لدينا : x ≤ 3  و y ≤ -1  إذن : (x + y ≤ 3 + (-1  ومنه :  x + y ≤ 2.

الترتيب و الضرب - الترتيب و القسمة 

في متفاوتة يمكن أن نضرب ( أو نقسم )  طرفيها على نفس العدد الحقيقي الموجب الغير منعدم دون أن تتغير هذه المتفاوتة.

في متفاوتة يمكن أن نضرب ( أو نقسم )  طرفيها على نفس العدد الحقيقي السالب الغير منعدم شريطة أن نغير إتجاه هذه المتفاوتة.

ac < bc     فإن     c  > 0  و  a < b  إذاكان    *

 ac > bc     فإن      c < 0   و  a < b  إذاكان  * 

تمرين تطبيقي : بين أنه إذا كان  x ≥ 3  و y ≥ 1  فإن :  2x +3y ≥ 9.

لدينا : x ≥ 3  و y ≥ 1  إذن :  2x  ≥ 6  و 3y ≥ 3     ومنه :  2x +3y ≥ 9 

: الترتيب و المقابل

يمكن أن نرتب مقابل عددين بعكس  إتجاه المتفاوتة 

-a > -b   فإن   a < b    إذاكان  *

-a < -b  فإن   a > b    إذاكان   *

: الترتيب و المقلوب

 عددان حقيقيان موجبان غير منعدمين a و b 

1/a > 1/b   فإن   a < b    إذاكان  *

1/a < 1/b  فإن   a > b    إذاكان   *

 عددان حقيقيان سالبان غير منعدمين a و b 

1/a < 1/b   فإن   a < b    إذاكان  *

1/a > 1/b  فإن   a > b    إذاكان   * 

 الترتيب و المربع - الترتيب و الجدر المربع :

 عددان حقيقيان موجبان قطعا يرتبان بنفس ترتيب مربعيهما وجدر مربعيهما.

a² < b²   تكافــــئ   a < b        :  a > 0 ; b > 0   إذاكان     *

    تكافــــئ   a < b        :  a > 0 ; b > 0   إذاكان  *

الترتيب علاقة متعدية :

إذا كان عدد أصغر من عدد ثان و كان العدد الثاني أصغر من عدد ثالث فإن العدد الأول أصغر من العدد الثالث.

مبرهنة :
a و b و c أعداد حقيقية.
إذا كان  a < b  و b < c فإن :  a < c.

المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد :

ماهي المتراجحة ؟

المتراجحة هي كل متفاوتة تتضمن مجهول أو أكثر. وحل متراجحة يعني إيجاد قيم المجهول التي تحقق المتراجحة. مثلا حلول المتراجحة x < 1 هي جميع الأعداد الحقيقية الأصغر قطعا من1.

ماهي المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد؟

كل متفاوتة على شكل : ax +b ≤ 0  أو ax +b ≥ 0 أو ax +b > 0 أو ax +b < 0
تسمى متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد حيث x هو المجهول.

كيف نحل المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد ؟

الطريقة تقريباا تشبه طريقة حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد 
مثال :

مجموعة حلول هذه المتراجحة هي الأعداد الممثلثة على المستقيم المدرج باللون الأخضر.

البرمجية التالية تساعدك في تثبيت مراحل إنجاز متراجحة بسيطة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. قم بكتابة المتراجحة التي تريد في الخانات أسفله ثم قم بمسك و تحريك النقطة الخضراء على الخــــط المتقطع و سنرافقك في حل المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد :