جدوع: الـقـواسـم و الـمـضـاعـفـات (للجدع المشترك علمي)

في هذا الدرس نعطي تعريف المضاعف و القاسم في مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و نتعرف على الخاصيات العامة للمضاعفات و القواسم.

خـواص عـامـة لـلـقـواسـم والـمـضـاعـفـات :

1 - تـعـريـف :

       نـقـول عـن عـدد صـحـيـح طبيعي m أنـه مـضـاعـفـا لـعـدد صـحـيـح طبيعي آخـر b إذا وفـقـط إذا وجـد عـدد صـحـيـح طبيعي n بـحـيـث يـكـون :

 m = b x n . إذا كـان b غـيـر منعدم نـقـول أيـضًـا إن b قـاسـم لـِ m أو b يُـقـسّـم m ونـكـتـب : b / m.

أمـثـلـة :
مضـاعـفات الـعدد 3 هـي : . . .12  ، 9 ، 6 ، 3 ، 0
قـواسـم العدد 36 هـي : 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 18 ، 36

2 -  الـتـرمـيـز :

* نـرمـز لمـجمـوعـة قـواسـم العـدد n بالرمز : Dn. 

* نرمـز لمـجمـوعـة مضـاعفـات العـدد n بالـرمـز :  Mn.
أمـثـلـة :
* {  ...، 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3 ، 0} =  M3

* { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 18 ، 36 } = D36

3 - تطبيق :

عين D54
الحل :

لدينا:                                                      54 = 1 × 54 = 2 × 27 = 3 × 18 = 6 × 9

إذن :                                                    { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54 } =  D54

4 - الـمضـاعفـات والقـواسـم المـشـتـركة لعـدديـن أو أكـثـر:

أمثـلــة :
*{ ... ... ، 90 ، 81 ، 72 ، 63 ، 54 ، 45 ، 36 ، 27 ، 18 ، 9 ، 0} = M9
*{ ... ... ، 96 ، 84 ، 72 ، 60 ، 48 ، 36 ، 24 ، 12 ، 0} = M12
المضاعـفات المـشـتركة للـعـددين : 9 ، 12 هي عناصر الـمـجـمـوعـة :

{... 72 ، 36 ، 0 } 

*{ 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54 } =  D54
* { 1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} =  D45
* { 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 15 ، 30 } =  D30
الـقواسـم الـمـشـتـركـة لـلأعداد : 54 ، 45 ، 30 هـي عناصر الـمـجـمـوعـة :

{ 1 ، 3 }

5 - خـواص الـمـضـاعـفـات والـقـواسـم :

خاصية 1 :

      مـجـمـوع أو فـرق أو جداء مـضـاعـفـيـن لـعـدد صـحـيـح طبيعي مـفـروض هـو مـضـاعـف لـهـذا الـعـدد.

*إذا كان  a / b و a / c    فإن : a / b + c
*إذا كان  a  /b و a / c    فإن : a / b - c
*إذا كان  a / b و a / c    فإن : a / b × c
خاصية 2 :

      كـل مـضـاعـف لـمـضـاعـف عـدد صـحـيـح طبيعي هـو نـفـسـه مـضـاعـفـاً لـهـذا الـعـدد الـصـحـيـح.

كـل قـاسـم لـقـاسـم عـدد صـحـيـح هـو نـفـسـه قـاسـم الـعـدد الـصـحـيـح.

*إذا كان  a / b و b / c    فإن : a / c
خاصية 3 :

       كـل قـاسـم مـشـترك لـعـدديـن صحيـحين a و b يُـقسّـم كل عدد صحيـح من الـشكل : bm + an حيث m و n عددان صحيحان طبيعيان.

المضـاعف الـمشـتـرك الأصغـر والقـاسم الـمشـتـرك الأكـبـر :

يمكنك مراجعة هاتين الصفحتين قبل أنت تتابع هذا الدرس :
- المضـاعف الـمشـتـرك الأصغـر
- القـاسم الـمشـتـرك الأكـبـر
تعريف :

       المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعين a وb هو اصغر مضاعف مشترك ل و من بين المضاعفات المشتركة ل a وb و يرمز له ب :أو  (M(a ; b

     القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعين a وb هو أكبر قاسم مشترك ل a وb من بين القواسم المشتركة ل a وb و يرمز له ب :  أو  (Δ(a ; b 

أمثـلــة :
*لدينا: {  ...18 ، 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3 ، 0} =  M3  و {  ...، 45 ، 36 ، 27 ، 18 ، 9 ، 0} =  M9

9 هو أصغر مضاعف من غير 0 من بين مضاعفات العددين 3 و 9 :

إذن : M(3 ; 9) =  9

*لدينا: {1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} =  D45  و { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54} =  D54

9 هو أكبر قاسم من بين قواسم العددين 45 و 54 :

إذن : Δ(45 ; 54) =  9