الـقـواسـم و الـمـضـاعـفـات (للجدع المشترك علمي)

MOHAMED KHOUKHI 17 التعليقات
في هذا الدرس نعطي تعريف المضاعف و القاسم في مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و نتعرف على الخاصيات العامة للمضاعفات و القواسم.
لـقـواسـم والـمـضـاعـفـات

خـواص عـامـة لـلـقـواسـم والـمـضـاعـفـات :

1 - تـعـريـف :

       نـقـول عـن عـدد صـحـيـح طبيعي m أنـه مـضـاعـفـا لـعـدد صـحـيـح طبيعي آخـر b إذا وفـقـط إذا وجـد عـدد صـحـيـح طبيعي n بـحـيـث يـكـون :
 m = b x n . إذا كـان b غـيـر منعدم نـقـول أيـضًـا إن b قـاسـم لـِ m أو b يُـقـسّـم m ونـكـتـب : b / m.
أمـثـلـة :
مضـاعـفات الـعدد 3 هـي : . . .12  ، 9 ، 6 ، 3 ، 0
قـواسـم العدد 36 هـي : 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 18 ، 36

2 -  الـتـرمـيـز :

* نـرمـز لمـجمـوعـة قـواسـم العـدد n بالرمز : Dn
* نرمـز لمـجمـوعـة مضـاعفـات العـدد n بالـرمـز :  Mn.
أمـثـلـة :
* {  ...، 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3 ، 0} =  M3
* { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 18 ، 36 } = D36

3 - تطبيق :

عين D54
الحل :
لدينا                                                     54 = 1 × 54 = 2 × 27 = 3 × 18 = 6 × 9
إذن :                                                    { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54 } =  D54

4 - الـمضـاعفـات والقـواسـم المـشـتـركة لعـدديـن أو أكـثـر:

أمثـلــة :
*{ ... ... ، 90 ، 81 ، 72 ، 63 ، 54 ، 45 ، 36 ، 27 ، 18 ، 9 ، 0} = M9
*{ ... ... ، 96 ، 84 ، 72 ، 60 ، 48 ، 36 ، 24 ، 12 ، 0} = M12
المضاعـفات المـشـتركة للـعـددين : 9 ، 12 هي عناصر الـمـجـمـوعـة :
{... 72 ، 36 ، 0 } 

*{ 1 ، 2 ، ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54 } =  D54
* { 1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} =  D45
* { 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 15 ، 30 } =  D30
الـقواسـم الـمـشـتـركـة لـلأعداد : 54 ، 45 ، 30 هـي عناصر الـمـجـمـوعـة :
{ 1 ، 3 }

5 - خـواص الـمـضـاعـفـات والـقـواسـم :

خاصية 1 :
      مـجـمـوع أو فـرق أو جداء مـضـاعـفـيـن لـعـدد صـحـيـح طبيعي مـفـروض هـو مـضـاعـف لـهـذا الـعـدد.
*إذا كان  a / b و a / c    فإن : a / b + c
*إذا كان  a  /b و a / c    فإن : a / b - c
*إذا كان  a / b و a / c    فإن : a / b × c
خاصية 2 :
      كـل مـضـاعـف لـمـضـاعـف عـدد صـحـيـح طبيعي هـو نـفـسـه مـضـاعـفـاً لـهـذا الـعـدد الـصـحـيـح.
كـل قـاسـم لـقـاسـم عـدد صـحـيـح هـو نـفـسـه قـاسـم الـعـدد الـصـحـيـح.
*إذا كان  a / b و b / c    فإن : a / c
خاصية 3 :
       كـل قـاسـم مـشـترك لـعـدديـن صحيـحين a و b يُـقسّـم كل عدد صحيـح من الـشكل : bm + an حيث m و n عددان صحيحان طبيعيان.

المضـاعف الـمشـتـرك الأصغـر والقـاسم الـمشـتـرك الأكـبـر :

يمكنك مراجعة هاتين الصفحتين قبل أنت تتابع هذا الدرس :
- المضـاعف الـمشـتـرك الأصغـر
- القـاسم الـمشـتـرك الأكـبـر
تعريف :
       المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعين a وb هو اصغر مضاعف مشترك ل و من بين المضاعفات المشتركة ل a وb و يرمز له ب :أو  (M(a ; b
     القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعين a وb هو أكبر قاسم مشترك ل a وb من بين القواسم المشتركة ل a وb و يرمز له ب :  أو  (Δ(a ; b 

أمثـلــة :
*لدينا{  ...18 ، 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3 ، 0} =  M3  و {  ...، 45 ، 36 ، 27 ، 18 ، 9 ، 0} =  M9
9 هو أصغر مضاعف من غير 0 من بين مضاعفات العددين 3 و 9 :
إذن : M(3 ; 9) =  9
*لدينا{1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} =  D45  و { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54} =  D54
9 هو أكبر قاسم من بين قواسم العددين 45 و 54 :
إذن : Δ(45 ; 54) =  9
تعليقات فيسبوك

Google+ Pinterest

17 علقوا على "الـقـواسـم و الـمـضـاعـفـات (للجدع المشترك علمي)"

كيف نبين ان لكل عدد صحيح طبيعي n
لدينا: (2n+1/n-1=2+(3/n-1

رد

يمكنك كتابة : 2n-2+3 = 2n+1
2n+1/n-1=(2n-2+3)/n-1= 2(n-1)/n-1 + 3/n-1 = 2+3/n-1

رد

aمضاعف ل b اس 2
كيف نبين ان a مضاعف ل b

رد

إذاكان a مضاعف ل b اس 2 فإنه يوجد عدد صحيح طبيعي حيث أن a= kb² أي أن a=(kb)b.
بمأن kb عدد صحيح فإن a مضاعف ل b.

رد

عجيب كيف يكون 0 مضعف لكل الأعداد وهو يخالف القاعدة ؟

إذا كان 0 = b
و3 = n
والمضاعف هو عدد جديد = m

لو طبقنا هذه القاعدة لكان m ليس عدد جديد بل 0

وكذلك مع الواحد فأعطونا الدليل على أن الصفر والعدد نفسه مضاعف ؟ واصلا كلمة مضاعف معناه 2 فأكثر ...

رد

تعريف : في الرياضيات مضاعفات عدد صحيح طبيعي n هي جميع الأعداد التي تكتب على شكل k.n كيفما كان k عددا صحيحا طبيعيا.
**/ إذن في هذه الحالة 0 لا يخالف القاعدة (نأخد k = 0 ) ولدينا : 0 = n × 0 و بالتالي 0 هو مضاعف ل n.
**/ أما العدد نفسه فنأخد k = 1 و يكون لدينا : n = n × 1 و بالتالي n هو مضاعف ل n.

رد

بارك الله فيك، فهمت قصدك ومزال لدي إشكال لماذا نسميه مضاعف ونحن نعرف أن المضاعف هو أكبر أم انه لا يحمل المعنى اللغوي ؟ شكرا جزيلا لك

رد

نعم 0 هو مضاعف لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية و طبعا هو أصغرها و هو يخرق المعنى اللغوي إذا شئت لكنه يحترم القاعدة الرياضية. في اللغة العربية نقول ضاعف العددَ : أي جعله ضعفين ( مثلين ) أو أكثر { مَنْ ذَا الَّذِي يُقْرِضُ اللهَ قَرْضًا حَسَنًا فَيُضَاعِفَهُ لَهُ } { لاَ تَأْكُلُوا الرِّبَا أَضْعَافًا مُضَاعَفَةً }: أمثالاً متعدِّدة. مُضاعَف: ( اسم ) مفعول من ضَاعَفَ : قَامَ بِجُهْدٍ مُضَاعَفٍ : بِجُهْدٍ أَكْثَرَ ، فِيهِ جُهْدَانِ ، مُضَعَّفٌ.

رد

الله يفتح عليك شكرا

رد

لدينا a مضاعف لbاس 2
و b اس 2 مضاعف لb )لأن b اس 2=b×b(

إذن a مضاعف ل b

رد

حدد قيم العدد ص ط nالتي يكون فيها bمضاعف ل a aتساوي وb=2n+15 a=n+7

رد

اريد البرهان على هذا; اذا كان a يقسم1 فان a=1

رد

الرجاء قواسم العدد 72

رد

بين انه لكل عدد صحيح طبيعي غيرمنعدمn فان n و (2n+1) اوليان فيما بينهما

رد

من فضلك قواسم العدد 101 و العدد 323و العدد 210

رد

شكرا لك

رد
  • يمنع تضمين روابط مباشرة في التعليق.
  • لمتابعة تعليقك حتى نرد عليك بالرجاء ضع اشارة على اعلامي.
  • اذا اعجبك الموضوع "الـقـواسـم و الـمـضـاعـفـات (للجدع المشترك علمي)" شارك على مواقع التواصل الاجتماعي.
محول الاكواد