جدوع: تقنيات و طرق مقارنة عددين حقيقين : تمارين و حلول

فيما يلي نستعرض بعض تقنيات أو طرق مقارنة عددين حقيقين بإعتماد خاصيات الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية. نضع بين أيديكم ثلاث طرائق بتمارين محلولة في المقارنة و الترتيب مسبوقة بإختبار معلومات في نفس الموضوع و بتذكير لخاصيات الترتيب بعلاقة مع العمليات :

بطاقة معلومات + إختبار معلومات

إختبار معلومات :

فيما يلي أختبار معلومات حول مكتسباتك بخصوص خاصيات وقواعد الترتيب الأعداد الحقيقية : ( يمكنك مراجعة هذه القواعد في صفحة ترتيب الأعداد الحقيقية ).

a و b و c و d أعداد حقيقية

1- تعريف :

       a و b عددين حقيقين :

2- الترتيب و الجمع :

3- الترتيب و الضرب :

4- الترتيب و المقلوب :

تقنيات و طرق مقارنة عددين حقيقين

الطريقة الأولى :

 في هذه الطريقة نعتمد على التعريف الواراد في الفقرة السابقة حيث أنه لمقارنة عددين حقيقين نحسب فرقهما و بعدها ندرس إشارة هذا الفرق فإذا كان موجبا يكون العدد الأول أكبر من العدد الثاني و إذا كان سالبا نأخد العكس :

      كي نقارن عددين حقيقين a و b : 

  1). نحسب الفرق a - b

نص التمرين :

             x عدد حقيقي، نضع :
                          
             بين أن :
               

حل التمرين :
نبين أنه لكل عدد حقيقي    :
يكفي أن نبين أن  A(x) -1≤ 0  و أن  A(x) +1 ≥ 0 :
ليكن x عدد حقيقي لدينا :

بمأن  2x² ≤ 0- و  x² +1 ≥ 0 فإن :  A(x) -1≤ 0 أي أن :  A(x) ≤ 1   ( أ )

بمأن 0 ≤  2 و  x² +1 ≥ 0  فإن :  A(x) + 1 ≥  0 أي أن :  A(x)  ≥  -1  ( ب )
من ( أ ) و ( ب) نستنتج أن : 

الطريقة الثانية :

 نعتمد هذه الطريقة إذا كان للعددين الحقيقين المراد مقارنتهما نفس الإشارة و يحتويان مثلا على الجدر المربع : هنا نقوم برفع العددين إلى المربع ثم من بعدها نقارن مربعيهما.

      كي نقارن عددين حقيقين a و b  لهما نفس الإشارة  نقارن مربعيهما :

نص التمرين :

             x عدد حقيقي حيث x  ≥  -2 ، نضع :

             بين أن : (f(x)  ≥  g(x  لكل عدد حقيقي x حيث x  ≥  -2

حل التمرين :
نبين أنه  : (f(x)  ≥  g(x  لكل عدد حقيقي x حيث x  ≥  -2
ليكن x عدد حقيقي حيث x  ≥  -2 لدينا :  f(x)  ≥ 0  و g(x)  ≥ 0

بمأن  x²  ≥ 0  فإن :  ²[(f(x)]²  ≥  [g(x]    أي أن :  (f(x)  ≥  g(x

الطريقة الثالثة:

نعتمد هذه الطريقة إذا كان العددان الحقيقيان المراد مقارنتهما موجبان قطعا حيث أننا نحسب خارجهما و نقارنه ب 1 :

      كي نقارن عددين حقيقين a و b   موجبان قطعا  نحسب خارجهما a/b و نقارنه ب 1  :

نص التمرين :

             n عدد صحيح طبيعي ، نضع :

             بين أن : An  <  Bn  لكل عدد صحيح طبيعي n.

حل التمرين :
نبين أنه  : An  <  Bn  لكل عدد صحيح طبيعي n.
نحسب خارج العددين An و Bn :

بمأن  n - 1< n  فإن :  An  <  Bn