جدوع: الأفاصيل المنحنية لنقطة من دائرة مثلثية

في هذا الدرس سنتعرف على الأفاصيل المنحنية لنقطة من دائرة مثلثية من خلال تعريف أفصول منحني لنقطة من دائرة مثلثية و طريقة تمثيله عليها، ثم نتطرق لكيفية تحديد الأفصول المنحني الرئيسي من خلال تمرين محلول.

تذكير :
النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية.
مقدمة إلى الحساب المثلثي : الدائرة المثلثية

الأفصول المنحني و الأفصول المنحني الرئيسي لنقطة من دائرة مثلثية :

تعريف :
 لتكن (C) دائرة مثلثية مركزها O و أصلها I و x عدد حقيقي:

• إذا كان x اكبر من او تساوي 0، نعتبر النقطة M من الدائرة بحيث القياس بالراديان لطول القوس IM هو عند التنقل على الدائرة في المنحى الموجب. 
• إذا كان x أصغر قطعا من 0، نعتبر النقطة M من الدائرة بحيث القياس بالراديان لطول القوس IM هو عند التنقل على الدائرة في المنحى السالب.
• في كلتا الحالتين x يسمى أفصولا منحنيا للنقطة M على الدائرة (C) و نكتب  (M(x. 
• إذا كان x ينتمي إلى المجال ]  π ; π- [ ذو السعة 2π نقول انx هو الأفصول المنحني الرئيسي للنقطة M و هو وحيد. 

1- من خلال البرمجية التالية تستطيع تحريك النقطة M على الدائرة المثلثية من خلال ضبط القيم التي تريد لطول القوس IM على القائمتين الحمراء و السوداء بخط متقطع : تبث المقام مثلا على عدد ما ( الأعداد من 1 إلى 12) و حاول أن تتنقل على الدائرة المثلثية ( غيرقيم البسط ) لتتعرف على موضع النقطة M على الدائرة المثلثية مقترنة بأفصولها. كرر العمل ... ودون ملاحظاتك و إستنتاجاتك.

2 - تبث المقام على 4 ثم قم بدورة كاملة اولى و ثانية و ثالثة ... في المنحى الموجب على الدائرة المثلثية من خلال تغيير قيم البسط و دون الأفاصيل المنحنية التي ستحصل عليها.

لا شك انك تعرفت على الأفاصيل المنحنية للنقطة M على الدائرة المثلثية

عندما نتبث x على π/4 مثلا و نقوم بدورة كاملة على الدائرة المثلثية نحصل على الأفصول المنحني  9π/4 وعند القيام بدورة ثانية نحصل على  17π/4 و دورة ثالثة نحصل على 25π/4. و هذا يعني أن النقط (M(π/4 و (M(9π/4 و (M(17π/4 و (M(25π/4 منطبقة. و لدينا :

9π/4 = π/4 + 2π = π/4 + 1. 2π 

17π/4 = π/4 + 4π = π/4 + 2. 2π 

25π/4 = π/4 + 6π = π/4 + 3. 2π 

بصفة عامة :  

x + k 2π هو أيضا أفصول منحني للنقطة على الدائرة المثلثية أي أن : (M(x + k 2π و (M(x منطبقتين، حيت k عدد صحيح نسبي.

π/4 هو أفصول منحني رئيسي للنقطة M لأن : π < π/4 < π-.

9π/4 و 17π/4 و 25π/4 و ... هي أيضا أفاصيل منحنية للنقطة M لكنها ليست رئيسية

تطبيق : تمرين محلول + منهجية

تمرين :

1 - مثل على الدائرة المثلثية النقط التي أفاصيلها المنحنية هي : π/6 و 2π/3 و 11π/6- و π/3- و 4π/3.
2 - حدد الأفصول المنحني الرئيسي للنقطة التي تقبل 37π/6 كأفصول منحني لها.
الحل :
1- التمثيل :

تمثيل  π/6 و 2π/3 و 11π/6- و π/3- و 4π/3.

2- ليكن x هو الأفصول المنحني الرئيسي للنقطة التي  تقبل 37π/6 كأفصول منحني لها. هذا يعني أن :
37π/6 = x + k 2π و π <x < π-  و k عدد صحيح نسبي.
أي أن : x =  37π/6 - k.2π  و π <x < π-  و k عدد صحيح نسبي.
أي أن : π <  37π/6 - k.2π < π- و k عدد صحيح نسبي.

نقسم أطراف المتفاوتة على π فنحصل على : 

-1 <   37/6 - k.2 < 1 

نضيف 37/6- إلى جميع  أطراف المتفاوتة  فنحصل على : 

-43/6  < - k. 2 <- 31/6

نقسم جميع  أطراف المتفاوتة على 2  فنحصل على : 

31/12 < k < 43/12

تحديد k من خلال المستقيم العددي

k عدد صحيح نسبي إذن : k = 3. نعوض k بقيمته ثم نحسب x فنحصل على :

x =  37π/6 - 3.2π ، أي أن x = π/6

طريقه ثانية :

37/6 = π/6 + 36π/6 

= π/6 + 6π

3.2π   +  π/6 =

منهجية : تحديد الأفصول المنحني الرئيسي لنقطة على الدائرة المثلثية.

نفرض انه أعطيك y عدد حقيقي أفصول منحني لنقطة ما ( مثلا 37π/6 كما في التمرين السابق) و طلب منك تحديد الأفصول المنحني الرئيسي x لهذه النقطة. ماذا تفعل ؟

1 - أنت تعلم ان : y = x + k 2π و π <x < π-  حيث k عدد صحيح نسبي.

2 - تكتب x بدلالة y بمعنى : x = y - k 2π

3 - تبحث عن قيمة k التي تحقق : π <   y - k.2π < π- حيث k عدد صحيح نسبي.

4 - تعوض قيمة k في ( x = y - k 2π ) و تحسب x.