جدوع: المعادلات المثلثية : المعادلة من نوع cos x = a

هذا الدرس يتناول المعادلة المثلثية من نوع cos x = a و يشرح طريقة حلها في مجموعة الأعداد الحقيقية او في مجال ضمنها. مجموعة حلول المعادلة cos x = a تكون مرتبطة بالقيمة العددية للبارمتر a و المجموعة المرجعية التي نحل فيها المعادلة.

1- المعادلة  cos x = a

في البرمجية التالية يمكنك أن تغير القيم العددية للبارامتر الحقيقي a من خلال القائمة الأفقية بلون أخضر ( أو إضغط زر التشغيل في الأسفل).

إذا قمت مثلا بتبيث a على 0,5 ستلاحظ ان المستقيم ذو المعادلة x = 0,5 يقطع الدائرة المثلثية في نقطتين M و M'  ذات الأفصولين المنحيين على التوالي π/3 و 5π/3.
العددان π/3 و 5π/3 هما حلي المعادلة cos x = 0,5 في المجال[  [ 2π ة ; 0 ] .

و نكتب : { S = { π/3 ; 5π/3 

بصفة عامة :

لتكن المعادلة cos x = a حيث a عدد حقيقي و لتكن S مجموعة حلولها في IR.

• إذا كان a > 1  أو a < -1  فان : S تكون فارغة.
• إذا كانa = 1  فان : {S = {2kπ /k∈ℤ 
• إذا كانa = -1 فان : {S = {π + 2kπ /k∈ℤ 
• إذا كان a محصور قطعا بين 1- و 1 فإنه يوجد عدد حقيقي θ  بحيث  cos θ = a و لدينا :

 { S={ θ +k2π /k∈ℤ }∪{ − θ +k2π /k∈ℤ 

2- أمثلة على حل المعادلة  cos x = a

تمرين تطبيقي :
حل في المجال [ π ; π- ] المعادلات :

1. cos x - 2 = 0
2. 6cosx + 2 = 5
3. 2cos x +1 = 0

الحل :
1 - المعادلة cos x - 2 = 0  تكافئ cos x =  2
هذه المعادلة مجموعة حلولها فارغة لأن 2 اكبر قطعا من 1. تذكر أن :  (c ( -1 ≤ cos x ≤ 1

2 - المعادلة 6cosx + 2 = 5 يجب كتابتها على شكل cos x = a :

6cosx + 2 = 5   تكافئ  2 - 6cosx = 5  تكافئ 6cosx = 3 تكافئ cos⁡x = 1/2

cos⁡x = 1/2 تكافئ cos⁡x =cos⁡ π/3 تكافئ (x= π/3 + 2kπ ) أو (x = − π/3 + 2kπ ) مع k∈ℤ .

لنبحث عن قيم  k حيث :   π ≤ π/3 + 2kπ ≤ π-    و   π ≤ -π/3 + 2kπ ≤ π-
لدينا   :  π ≤ π/3 + 2kπ ≤ π-    ;;    π ≤ -π/3 + 2kπ ≤ π-
=> : π   -1 ≤ 1/3 + 2k ≤ 1    ;;  π -1 ≤ -1/3 + 2k ≤ 1
=> : π   -4/3 ≤  2k ≤ 2/3   ;;      π-2/3 ≤  2k ≤ 4/3
=> : π   -2/3 ≤  k ≤ 1/3    ;;   π-1/3 ≤ k ≤ 2/3
=>  :  0 = k   أي x= π/3 أو x= -π/3

 { S[ π ; π- ] ={ π/3 ;− π/3  

وهذا تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية :

 تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية

و تكون مجموعة حلول المعادلة 6cosx + 2 = 5 في IR على شكل :

                     { SIR ={ π/3 +k( 2π )/k∈ℤ }∪{ − π/3 +k( 2π )/k∈ℤ

3-  المعادلة 2cos x +1 = 0  تكافئ cos x = -1/2

cos ⁡x = -1/2 تكافئ cos⁡x =cos⁡ 2π/3 تكافئ (x= 2π/3 + 2kπ ) أو (x = − 2π/3 + 2kπ ) مع k∈ℤ .
لنبحث عن قيم  k حيث    π ≤ -2π/3 + 2kπ ≤ π    ;;   -π ≤ 2π/3 + 2kπ ≤ π-
لدينا :   π ≤ -2π/3 + 2kπ ≤ π    ;;   -π ≤ 2π/3 + 2kπ ≤ π-
=> : π   -1 ≤ 2/3 + 2k ≤ 1    ;;   π -1 ≤ 2/3 + 2k ≤ 1
=> : π   -5/3 ≤  2k ≤ 5/3    ;;   π-5/3 ≤  2k ≤ 1/3
=> : π   -5/6 ≤  k ≤ 5/6    ;;   π-5/6 ≤ k ≤ 1/6
=> :  0 = k   أي x= 2π/3 أو x= -2π/3

 { S[- π ; π ] ={ 2π/3 ;− 2π/3  

وهذا تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية :

تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية