تمرين محلول حول زوجية دالة

في مايلي تمرين محلول يتناول طريقة التعرف على زوجية دالة مستوى الجدع مشترك علمي. التمرين يتضمن عشرة دوال مطلوب منك تبيان هل هي زوجية أم فردية مرفوق بحلول مختصرة .

يمكنك مراجعة : ماهي الدالة الزوجية و كيف نؤول ذلك هندسيا

يمكنك مراجعة : ماهي الدالة الفردية و كيف نؤول ذلك هندسيا

تذكير

الدالة الزوجية :
لتكن f دالة عددية و لتكن Df مجموعة تعريفها.

نقول أن f دالة زوجية يعني أنه لكل x من Df (مجموعة تعريف):

x- ينتمي إلى Df و (f(-x) = f(x

الدالة الفردية :
لتكن f دالة عددية و لتكن Df مجموعة تعريفها.

نقول أن f دالة فردية يعني أنه لكل x من Df (مجموعة تعريف):

x- ينتمي إلى Df و (f(-x) =- f(x

نص التمرين

حدد زوجـية الدالة f في كل حالة من الحالات التالــية :
1- $f(x)=(x^{2}-1)\left | x \right |$
2- $f(x)=x^{3}-x^{5}$
3- $f(x)=3x^{4}-x^{5}$
4- $f(x)=\frac{1+x^{2}}{x^{4}}$
5- $f(x)=\left | x-1 \right |+\left | x+1 \right |$
6- $f(x)=xsinx$
7- $f(x)=\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}$
8- $f(x)=\frac{\left | x \right |}{x^{2}-3}$
9- $f(x)=\frac{sinx}{2-sinx}$
10- $f(x)=x\sqrt{x-2}$

حل التمرين :

1- الدالة : $f(x)=(x^{2}-1)\left | x \right |$
بما أن الدالة جداء الدالتين $x \mapsto x^2-1$ و $x \mapsto \left | x \right |$ وهما معرفتان على $\mathbb{R}$
فإن $f$ معرفة على $\mathbb{R}$ . وبما أن $\mathbb{R}$ متماثل بالنسبة لـ $O$ ، فالشرط الأول محقق .
الشرط الثاني :
$f(-x)=((-x)^{2}-1)\left | -x \right |=(x^{2}-1)\left | x \right |=f(x)$
وبالتالي فالدالـة زوجية .

2- الدالة :      $f(x)=x^{3}-x^{5}$
بما أن الدالة حدودية فهي معرفة على $\mathbb{R}$ .
$f(-x)=(-x)^{3}-(-x)^{5}=-x^{3}+x^{5}=-(x^{3}-x^{5})=-f(x)$
واضح أن الدالة فردية .

3- الدالة :      $f(x)=3x^{4}-x^{5}$
لاحظ أن الدالة ليست زوجية وليست فردية . لنبين ذلك .
هنا يكفيك مثال مضاد ينقض الشرط الثاني :
مثلا نحسب :
$f(1)=3-1=2$ و $f(-1)=3+1=4$
بما أن $f(-1)\neq f(1)$ فالدالة ليست زوجية .
لدينا : $-f(1)=-2$
بما أن $f(-1)\neq -f(1)$ فالدالة ليست فردية .

4- الدالة :      $f(x)=\frac{1+x^{2}}{x^{4}}$
تكون الدالة معرفة إذا كان : $x^{4}\neq 0$ أي $x\neq 0$
ومنه $\mathbb{R}^{*}$ هي مجموعة تعريفها . وهي متماثلة بالنسبة لـ 0 .
الشرط الثاني سهل . الدالة زوجية .

5- الدالة :      $f(x)=\left | x-1 \right |+\left | x+1 \right |$
الدالة معرفة على $\mathbb{R}$ .
لدينا : $f(-x)=\left | -x-1 \right |+\left | -x+1 \right | =\left | -(x+1) \right |+\left | -(x-1) \right |$
أي : $f(-x)=\left | (x+1) \right |+\left | (x-1) \right |=f(x)$
استنتاج : الدالة زوجــية .

6- الدالة :      $f(x)=xsinx$
هذه دالة مثلثية معرفة على $\mathbb{R}$ . بين أنها زوجـية .

7- الدالة :      $f(x)=\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}$
هذه دالة تنتمي إلى مجموعة الدوال اللاجذريــة .
بما أن $3+x^{2} \neq 0$ لكل $x$ من $\mathbb{R}$
( لأن : $3+x^{2}\geqslant 3$ )
فالدالة معرفة على $\mathbb{R}$ .
بين أن الدالة فردية .

8- الدالة :      $f(x)=\frac{\left | x \right |}{x^{2}-3}$
تكون الدالة معرفة إذا كان : $x^{2}-3\neq 0$ أي $x\neq \sqrt{3}$ و $x\neq -\sqrt{3}$
ومنه فمجموعة تعريف الدالة هي : $\mathbb{R}- \left \{ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right \}$
وهي مجموعة متماثلة بالنسبة لـ 0 . ( مثلها على مستقيم )
لدينا : $f(-x)=\frac{\left | -x \right |}{(-x)^{2}-3}=\frac{\left | x \right |}{(x)^{2}-3}=f(x)$
الدالة إذن زوجية .

9- الدالة :      $f(x)=\frac{sinx}{2-sinx}$
الدالة ليست زوجية وليست فردية .
مثال مضاد : $f(\frac{\pi}{2})=1$ و $f(-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{3}$
تحقق من الحساب .
بما أن $f(-\frac{\pi}{2})\neq f(\frac{\pi}{2})$ $f(-\frac{\pi}{2})\neq -f(\frac{\pi}{2})$ فالدالة ليست زوجية وليست فردية .
لكن ما مجموعة تعريفها ؟ سؤال إضافي .
تعلم أن $sinx\leqslant 1$ ومنه $-sinx\geqslant -1$ ومنه $2-sinx\geqslant 1$ وبالتالي فمقام الدالة لاينعدم بتاتا. إذن : $D_{f}=\mathbb{R}$

10- الدالة :      $f(x)=x\sqrt{x-2}$
بين أن : $D_{f}=[2,+\infty [$
هذه المجموعة ليست متماثلة بالنسبة لـ 0 : مثال : $2\in D_{f}$ و $-2\notin D_{f}$
وبالتالي فالدالة ليست زوجية وليست فردية .