تمرين محلول حول زوجية دالة

MOHAMED KHOUKHI 0 التعليقات
في مايلي تمرين محلول يتناول طريقة التعرف على زوجية دالة مستوى الجدع مشترك علمي. التمرين يتضمن عشرة دوال مطلوب منك تبيان هل هي زوجية أم فردية  مرفوق بحلول مختصرة .
تمرين محلول حول زوجية دالة

تذكير 


الدالة الزوجية : 
لتكن f دالة عددية و لتكن Df مجموعة تعريفها. 
نقول أن f دالة زوجية يعني أنه لكل x من Df (مجموعة تعريف):
                   x- ينتمي إلى Df  و (f(-x) = f(x


الدالة الفردية : 
لتكن f دالة عددية و لتكن Df مجموعة تعريفها. 
نقول أن f دالة فردية يعني أنه لكل x من Df (مجموعة تعريف):
                   x- ينتمي إلى Df  و (f(-x) =- f(x

نص التمرين

حدد زوجـية الدالة f  في كل حالة من الحالات التالــية :
1- f(x)=(x^{2}-1)\left | x \right |
2- f(x)=x^{3}-x^{5}
3- f(x)=3x^{4}-x^{5}
4- f(x)=\frac{1+x^{2}}{x^{4}}
5- f(x)=\left | x-1 \right |+\left | x+1 \right |
6- f(x)=xsinx
7- f(x)=\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}
8- f(x)=\frac{\left | x \right |}{x^{2}-3}
9- f(x)=\frac{sinx}{2-sinx}
10- f(x)=x\sqrt{x-2}

حل التمرين :

1- الدالة :    f(x)=(x^{2}-1)\left | x \right |
بما أن الدالة جداء الدالتين x \mapsto x^2-1 و x \mapsto \left | x \right | وهما معرفتان على \mathbb{R}
فإن f معرفة على \mathbb{R} . وبما أن \mathbb{R} متماثل بالنسبة لـ O ، فالشرط الأول محقق .
الشرط الثاني :
f(-x)=((-x)^{2}-1)\left | -x \right |=(x^{2}-1)\left | x \right |=f(x)
وبالتالي فالدالـة زوجية .

2- الدالة :     f(x)=x^{3}-x^{5}
بما أن الدالة حدودية فهي معرفة على \mathbb{R} .
f(-x)=(-x)^{3}-(-x)^{5}=-x^{3}+x^{5}=-(x^{3}-x^{5})=-f(x)
واضح أن الدالة فردية .

3- الدالة :     f(x)=3x^{4}-x^{5}
لاحظ أن الدالة ليست زوجية وليست فردية . لنبين ذلك .
هنا يكفيك مثال مضاد ينقض الشرط الثاني :
مثلا نحسب :
f(1)=3-1=2 و f(-1)=3+1=4
بما أن f(-1)\neq f(1) فالدالة ليست زوجية .
لدينا : -f(1)=-2
بما أن f(-1)\neq -f(1) فالدالة ليست فردية .

4- الدالة :     f(x)=\frac{1+x^{2}}{x^{4}}
تكون الدالة معرفة إذا كان : x^{4}\neq 0 أي x\neq 0
ومنه \mathbb{R}^{*} هي مجموعة تعريفها . وهي متماثلة بالنسبة لـ 0 .
الشرط الثاني سهل . الدالة زوجية .

5- الدالة :     f(x)=\left | x-1 \right |+\left | x+1 \right |
الدالة معرفة على \mathbb{R}.
لدينا : f(-x)=\left | -x-1 \right |+\left | -x+1 \right | =\left | -(x+1) \right |+\left | -(x-1) \right |
أي : f(-x)=\left | (x+1) \right |+\left | (x-1) \right |=f(x)
استنتاج : الدالة زوجــية .

6- الدالة :     f(x)=xsinx
هذه دالة مثلثية معرفة على \mathbb{R} . بين أنها زوجـية .

7- الدالة :     f(x)=\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}
هذه دالة تنتمي إلى مجموعة الدوال اللاجذريــة .
بما أن 3+x^{2} \neq 0 لكل x من \mathbb{R}
( لأن : 3+x^{2}\geqslant 3)
فالدالة معرفة على \mathbb{R} .
بين أن الدالة فردية .

8- الدالة :     f(x)=\frac{\left | x \right |}{x^{2}-3}
تكون الدالة معرفة إذا كان : x^{2}-3\neq 0 أي x\neq \sqrt{3} و x\neq -\sqrt{3}
ومنه فمجموعة تعريف الدالة هي : \mathbb{R}- \left \{ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right \}
وهي مجموعة متماثلة بالنسبة لـ 0 . ( مثلها على مستقيم )
لدينا : f(-x)=\frac{\left | -x \right |}{(-x)^{2}-3}=\frac{\left | x \right |}{(x)^{2}-3}=f(x)
الدالة إذن زوجية .

9- الدالة :     f(x)=\frac{sinx}{2-sinx}
الدالة ليست زوجية وليست فردية .
مثال مضاد : f(\frac{\pi}{2})=1 و f(-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{3}
تحقق من الحساب .
بما أن f(-\frac{\pi}{2})\neq f(\frac{\pi}{2}) f(-\frac{\pi}{2})\neq -f(\frac{\pi}{2})فالدالة ليست زوجية وليست فردية .
لكن ما مجموعة تعريفها ؟ سؤال إضافي .
تعلم أن sinx\leqslant 1 ومنه -sinx\geqslant -1 ومنه 2-sinx\geqslant 1 وبالتالي فمقام الدالة لاينعدم بتاتا. إذن : D_{f}=\mathbb{R}

10- الدالة :     f(x)=x\sqrt{x-2}
بين أن : D_{f}=[2,+\infty [
هذه المجموعة ليست متماثلة بالنسبة لـ 0 : مثال : 2\in D_{f} و -2\notin D_{f}
وبالتالي فالدالة ليست زوجية وليست فردية .
تعليقات فيسبوك

Google+ Pinterest

0 علقوا على "تمرين محلول حول زوجية دالة"

  • يمنع تضمين روابط مباشرة في التعليق.
  • لمتابعة تعليقك حتى نرد عليك بالرجاء ضع اشارة على اعلامي.
  • اذا اعجبك الموضوع "تمرين محلول حول زوجية دالة" شارك على مواقع التواصل الاجتماعي.
محول الاكواد