جدوع: كيف نتعرف على الأعداد الأولية تمارين وحلول

لقد كانت الأعداد هي أول ما ظهر من علوم الرياضيات لكونها أقرب هذه العلوم إلى واقع الإنسان ، و تمتلك بعض الأعداد خصائص سحرية و غريبة جعلتها تجذب بال العلماء و الرياضيين و منها الأعداد الأولية

تمتلك الأعداد الأولية خصائص فريدة من نوعها من حيث كونها غير منتظمة وبالتالي عدم إمكانية التخمين بها ، و لكونها أصل جميع الأعداد حسب النظرية الأساسية في الحساب. في هذا الدرس تذكيرسريع حول الأعداد الأولية مرفوق بتمارين و حلول :

1- ماهو العدد الأولي و كيف نتعرف عليه ؟

1.1 تعريف :

            تعريف :

نقول عن عدد صحيح طبيعي n أنه أولي إذا وفقط إذا كان له قاسمان مختلفان فقط.

أمثلة :
* 2 عدد أولي لأن له قاسمان فقط هما 1 و 2 .
* 6 ليس عددا أوليا لأن له أكثر من قاسمين وقواسمه هي : 1٬2٬3٬6 .
* 1 ليس عددا أوليا لأن له قاسم واحد فقط هو 1.
* 0 ليس عددا أوليا لأنه يقبل القسمة على كل عدد طبيعي.
* 17 عدد أولي لأن له قاسمان فقط هما 1 و 17.

1.2 مبرهنة :

           مبرهنة :

كل عدد صحيح طبيعي n غير أولي (n  يخالف 0 , n يخالف 1 ) يقبل على الأقل قاسما أوليا d  بحيث : d² أصغرمن أو يساوي n 

البرهان :

بما أن n غير أولي ويختلف عن 1 وعن 0 فإنه يقبل على الأقل قاسما يختلف عن n وعن 1 .
ليكن d أصغر هذه القواسم: كل قاسم للعدد d هو قاسم للعدد n وهو أصغر من d وبالتالي لا يمكن أن يكون للعدد d أي قاسم أصغر من d ماعدا 1، إذن العدد d أولي.
بوضع : n =  dq، العدد q قاسم للعدد n وهو يختلف عن 1 وعن n  :
 إذن : d ≤ q  أي أن   d² ≤ dq      ومنه  d² ≤ n        

1.3 البحث عن الأعداد الأولية :

من المبرهنة السابقة نستنتج ما يلي :

          نتيجة :

إذا كان n عددا طبيعيا أكبر من 1 وكان لا يقبل أي قاسم أولي d حيث d² ≤ n فإن n أولي. 

مثال :

هل العدد 191 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 191 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :

d	2	3	5	7	11	13	17
d²	4	9	25	49	121	169	289
قابلية القسمة	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل

بمأن : 191 <  17² و 17 لا يقسم 191 فإن 191 عدد أولي.

1.4 ماهو التفكيك الأولي ؟ و كيف نفككك (أو نحلل) عدد إلى جداء عوامل أولية ؟

الشرح و الأمثلة تجدها في هذه الصفحة :

الأعداد الأولية و طريقة التفكيك إلى جداء عوامل أولية

في البرمجية التالية يمكنك أن تختار أي عدد تريد، سنخبرك إن كان عددا أوليا أو  نعطيك التفكيك الأولي إلى جداء عوامل أولية في حالة العكس . جرب :

2 - تمارين محلولة حول الأعداد الأولية

2.1 التمرين الأول :

           نص التمرين :

1) أدرس أولية الأعداد التالية :

97        ،       111       ،         259 

2) حل في مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية المعادلة التالية :

x² - y² = 97

الحل :

هل العدد 97 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 97 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :

d	2	3	5	7	11
d²	4	9	25	49	121
قابلية القسمة	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل

بمأن : 97 <  11² و 11 لا يقسم 97 فإن 97 عدد أولي.
هل العدد 111 أولي ؟
العدد 111 يقبل القسمة على 3 ( لأن : 3  = 1+1+1 ) إذن لائحة قواسمه تتضمن أثر من قاسم و بالتالي العدد 111 غير أولي.

هل العدد 259 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 259 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :

d	2	3	5	7	11	13	17
d²	4	9	25	49	121	169	289
قابلية القسمة	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل	لا يقبل

بمأن : 259 <  17² و 17 لا يقسم 259 فإن 259 عدد أولي.
نحل المعادلة : x² - y² = 97
المعادلة السابقة تكافئ  :  x - y )( x + y ) = 97)
بمأن x - y < x + y  فإن x + y = 97  و  x - y = 1
وبجمع طرفي المعادلتين نحصل على 2x = 98  أي أن  x = 49  و منه y = 48
حل المعادلة السابقة هو : ( 48 ; 49 )

2.2 التمرين الثاني :

           نص التمرين :

1) فكك إلى جداء عوامل أولية مايلي :

  C = 45×100      ،       B = 80×77       ،         A = 44×50

2) إستنتج قاسمهم المشترك اﻷكبر و مضاعفهم المشترك الأصغر.

3) أثبت أن :

الحل :

ملاحظة : في السؤال رقم 2 إعتمدنا القاعدة التالية

           قاعدة :

• اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷكبر ﻟﻌﺪدﻳﻦ هﻮ ﺟﺪاء اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮكة ﺑﻴﻦ ﺗﻔﻜﻴﻜﻲ هﺬﻳﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ و اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أﺻﻐﺮ أس.
• المضاعف اﻟﻤﺸﺘﺮك الأصغر ﻟﻌﺪدﻳﻦ هﻮ ﺟﺪاء اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮكة و الغير المشتركة ﺑﻴﻦ ﺗﻔﻜﻴﻜﻲ هﺬﻳﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ و اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أكبر أس.

يمكنك مراجعة مثال على القاعدة السابقة من هنا.