كيف نتعرف على الأعداد الأولية تمارين وحلول

MOHAMED KHOUKHI 0 التعليقات
لقد كانت الأعداد هي أول ما ظهر من علوم الرياضيات لكونها أقرب هذه العلوم إلى واقع الإنسان ، و تمتلك بعض الأعداد خصائص سحرية و غريبة جعلتها تجذب بال العلماء و الرياضيين و منها الأعداد الأولية
تمتلك الأعداد الأولية خصائص فريدة من نوعها من حيث كونها غير منتظمة وبالتالي عدم إمكانية التخمين بها ، و لكونها أصل جميع الأعداد حسب النظرية الأساسية في الحساب. في هذا الدرس تذكيرسريع حول الأعداد الأولية مرفوق بتمارين و حلول :
كيف نتعرف على الأعداد الأولية تمارين وحلول

1- ماهو العدد الأولي و كيف نتعرف عليه ؟

1.1 تعريف :

            تعريف :
نقول عن عدد صحيح طبيعي n أنه أولي إذا وفقط إذا كان له قاسمان مختلفان فقط.
أمثلة :
* 2 عدد أولي لأن له قاسمان فقط هما 1 و 2 .
* 6 ليس عددا أوليا لأن له أكثر من قاسمين وقواسمه هي : 1٬2٬3٬6 .
* 1 ليس عددا أوليا لأن له قاسم واحد فقط هو 1.
* 0 ليس عددا أوليا لأنه يقبل القسمة على كل عدد طبيعي.
* 17 عدد أولي لأن له قاسمان فقط هما 1 و 17.

1.2 مبرهنة :

           مبرهنة :
كل عدد صحيح طبيعي n غير أولي (n  يخالف 0 , n يخالف 1 ) يقبل على الأقل قاسما أوليا d  بحيث : d² أصغرمن أو يساوي n 
البرهان :
بما أن n غير أولي ويختلف عن 1 وعن 0 فإنه يقبل على الأقل قاسما يختلف عن n وعن 1 .
ليكن d أصغر هذه القواسم: كل قاسم للعدد d هو قاسم للعدد n وهو أصغر من d وبالتالي لا يمكن أن يكون للعدد d أي قاسم أصغر من d ماعدا 1، إذن العدد d أولي.
بوضع : n =  dq، العدد q قاسم للعدد n وهو يختلف عن 1 وعن n  :
 إذن : d ≤ q  أي أن   d² ≤ dq      ومنه  d² ≤ n        

1.3 البحث عن الأعداد الأولية :

من المبرهنة السابقة نستنتج ما يلي :

          نتيجة :
إذا كان n عددا طبيعيا أكبر من 1 وكان لا يقبل أي قاسم أولي d حيث d² ≤ n فإن n أولي. 
مثال :
هل العدد 191 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 191 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :
 d
 2
 3
 5
 7
11 
 13
 17
 
 4
 9
 25
 49
 121
 169
 289
 قابلية القسمة  لا يقبل  لا يقبل  لا يقبل  لا يقبل  لا يقبل  لا يقبل لا يقبل 
بمأن : 191 <  17² و 17 لا يقسم 191 فإن 191 عدد أولي.

1.4 ماهو التفكيك الأولي ؟ و كيف نفككك (أو نحلل) عدد إلى جداء عوامل أولية ؟

الشرح و الأمثلة تجدها في هذه الصفحة :

في البرمجية التالية يمكنك أن تختار أي عدد تريد، سنخبرك إن كان عددا أوليا أو  نعطيك التفكيك الأولي إلى جداء عوامل أولية في حالة العكس . جرب :

2 - تمارين محلولة حول الأعداد الأولية

2.1 التمرين الأول :

           نص التمرين :
1) أدرس أولية الأعداد التالية :
97        ،       111       ،         259 
2) حل في مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية المعادلة التالية :
x² - y² = 97
الحل :
هل العدد 97 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 97 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :
 d
 2
 3
 5
 7
11 

 
 4
 9
 25
 49
 121

 قابلية القسمة لا يقبل لا يقبل لا يقبل لا يقبل لا يقبل
بمأن : 97 <  11² و 11 لا يقسم 97 فإن 97 عدد أولي.
هل العدد 111 أولي ؟
العدد 111 يقبل القسمة على 3 ( لأن : 3  = 1+1+1 ) إذن لائحة قواسمه تتضمن أثر من قاسم و بالتالي العدد 111 غير أولي.
هل العدد 259 أولي ؟
نقوم بقسمة العدد 259 على كل من الأعداد الأولية d ثم نحسب d² في كل مرة كما يلي :
 d
 2
 3
 5
 7
11 
 13
 17
 
 4
 9
 25
 49
 121
 169
 289
 قابلية القسمة لا يقبل لا يقبل لا يقبل لا يقبل لا يقبل لا يقبللا يقبل 
بمأن : 259 <  17² و 17 لا يقسم 259 فإن 259 عدد أولي.
نحل المعادلة : x² - y² = 97
المعادلة السابقة تكافئ  :  x - y )( x + y ) = 97)
بمأن x - y < x + y  فإن x + y = 97  و  x - y = 1
وبجمع طرفي المعادلتين نحصل على 2x = 98  أي أن  x = 49  و منه y = 48
حل المعادلة السابقة هو : ( 48 ; 49 )

2.2 التمرين الثاني :

           نص التمرين :
1) فكك إلى جداء عوامل أولية مايلي :
  C = 45×100      ،       B = 80×77       ،         A = 44×50
2) إستنتج قاسمهم المشترك اﻷكبر و مضاعفهم المشترك الأصغر.
3) أثبت أن :
الحل :
حل التمرين الثاني
ملاحظة : في السؤال رقم 2 إعتمدنا القاعدة التالية
           قاعدة :
  • اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷكبر ﻟﻌﺪدﻳﻦ هﻮ ﺟﺪاء اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮكة ﺑﻴﻦ ﺗﻔﻜﻴﻜﻲ هﺬﻳﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ و اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أﺻﻐﺮ أس.
  • المضاعف اﻟﻤﺸﺘﺮك الأصغر ﻟﻌﺪدﻳﻦ هﻮ ﺟﺪاء اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮكة و الغير المشتركة ﺑﻴﻦ ﺗﻔﻜﻴﻜﻲ هﺬﻳﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ و اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أكبر أس.
يمكنك مراجعة مثال على القاعدة السابقة من هنا.
تعليقات فيسبوك

Google+ Pinterest

0 علقوا على "كيف نتعرف على الأعداد الأولية تمارين وحلول"

  • يمنع تضمين روابط مباشرة في التعليق.
  • لمتابعة تعليقك حتى نرد عليك بالرجاء ضع اشارة على اعلامي.
  • اذا اعجبك الموضوع "كيف نتعرف على الأعداد الأولية تمارين وحلول" شارك على مواقع التواصل الاجتماعي.
محول الاكواد