جدوع: تطبيقات و تمرين محلول على الأعداد الزوجية و الأعداد الفردية

في هذا الدرس جميع الأعداد المستعملة هي صحيحة طبيعية ( 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...).  سنميز بين نوعين من هذه الأعداد : الزوجية منها و الفردية، ثم نستعرض خاصيات العمليات الأربع على  الأعداد الزوجية و الفردية مشفوعة بأمثلة تطبيقية وبراهين و تمرين محلول :

1- تعريفات و خاصيات أساسية :

1.1- العدد الزوجي - العدد الفردي :

تعريف 1:

          تعريف  1   :

العدد الزوجي هو عدد من مضاعفات العدد 2.

بتعبير أخر : ﻧﻘﻮل إن اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ a ﻋﺪد زوﺟﻲ
إذا وﻓﻘﻂ كان ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ k ﺣﻴﺚ a = 2k

(عدد صحيح ) × 2 = عددزوجي     .

أمثلة 1:
0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 34 ، 20648 ... هي أعداد زوجية.

3 × 2 = 6      ،       17 × 2 = 34       ،       10324 × 2 = 20648 

العدد الزوجي حتما ينتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.

تعريف 2:

        تعريف  2   :

العدد الفردي هو عدد غير زوجي.

بتعبير أخر : ﻧﻘﻮل إن اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ b ﻋﺪد فردي
إذا وﻓﻘﻂ كان ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ n ﺣﻴﺚ 1 +b = 2n

1 + (عدد صحيح ) × 2 = عدد فردي .

أمثلة 2:
1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 29 ، 8641 ... هي أعداد فردية.

1 + 0×2 = 1        ،         1 + 3×2 = 7      ،        1 + 14×2 = 29

العدد الفردي حتما ينتهي ب 1 أو 3 أو 5 أو 7 أو 9.

        هام :

دراسة زوجية عدد تعني : تحديد هل العدد زوجي أم فردي

عددان لهما نفس الزوجية يعني إما هما فرديان معا أو زوجيان معا.

1.2- جمع الأعداد الزوجية و الفردية

ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال : 10 = 4 + 6 
عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال : 8 = 3 + 5
ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: 9 = 4 + 5  
عدد زوجي+ عدد فردي = عدد فردي، مثال: 15 = 13 + 2 

خاصية 1:

          خاصية 1  :

• مجموع عددين صحيحين طبيعيين لهما نفس الزوجية هو عدد زوجي.
• مجموع عددين صحيحين طبيعيين مختافي الزوجية هو عدد فردي.

يمكن أن نلخص هذه الخاصية في الجدول التالي :

فردي	زوجي	+
فردي	زوجي	زوجي
زوجي	فردي	فردي

1.3- ضرب الأعداد الزوجية و الفردية

ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي.
عدد زوجي × عدد زوجي = عدد زوجي، مثال : 16 = 2 × 8 
ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي.
عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي، مثال : 21 = 3 × 7
ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي و أخر فردي، عدد زوجي.
عدد فردي × عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: 20 = 4 × 5 و 26 = 13 × 2

خاصية 2 :

          خاصية  2   :
الحالة الوحيدة التي يكون فيها جداء عددين صحيحين طبيعيين فرديا هي عندما يكونان معا فرديان .

يمكن أن نلخص ذلك في الجدول التالي :

فردي	زوجي	×
زوجي	زوجي	زوجي
فردي	زوجي	فردي

البرهان على الخاصية 1 و 2

ليكن a و b عددان صحيحان طبيعيان.
إذا كان a و b  زوجيان فإنه يوجد عددان صحيحان طبيعيان k و 'k حيث :

a = 2k     و    ' b = 2k

('a + b = 2k + 2k' = 2×(k+k                 

'a × b = 2k × 2k' = 2×kk                 

إذن a + b و ab عددان زوجيان.

إذا كان a و b  فرديان فإنه يوجد عددان صحيحان طبيعيان k و 'k حيث :

1 + a = 2k   و  1 +' b = 2k

1 +('a + b = 2k + 1 + 2k' + 1= 2×(k+k                 

 a × b = (2k+1)(2k'+1) = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2×(2kk' + k + k') + 1                 

إذن a + b و ab عددان فرديان.

إذا كان أحد العددين فرديا و الأخر زوجيا، مثلا :

1 + a = 2k   و  b = 2n

1 +(a + b = 2k + 1 + 2n= 2×(k+n                 

(a × b = 2n(2k+1) =2×( 2nk + n                 

إذن a + b فردي و ab زوجي.

1.4 مربع عدد زوجي أو فردي

مربع عدد زوجي هو عدد زوجي، مثال : 16 = 4²

مربع عدد فردي هو عدد فردي ، مثال : 9 = 3²

خاصية 3:

          خاصية  3   :

n عدد صحيح طبيعي:

إذا كان n فرديا فإن n² فرديا و إذاكان n زوجيا فإن n² زوجيا.

1.5 عددان متتابعان

عددان صحيحان متتابعان يكون فرقهما هو 1، فمثلا إذا كان n هو العدد الأول فإن العدد الذي يليه هو n +1 و العدد الذي يسبقه هو n-1.

		تابعه	العدد	سابقه
....	n + 2	n + 1	n	n - 1	n - 2	...

خاصية 4:

          خاصية 4   :

• مجموع عددين صحيحين طبيعيين متتابعين هو عدد فردي.
• جداء عددين صحيحين طبيعيين متتابعين هو عدد زوجي.

البرهان على الخاصية 3 و 4 :
المربع : ليكن n عدد صحيح طبيعي.
إذا كان n زوجيا فإن n يكتب على شكل n = 2k حيث k عدد صحيح طبيعي.

(n² = (2k)² = 4k² = 2 × (2k²                 

إذن n عدد زوجي.
إذا كان n فرديا فإن n يكتب على شكل n = 2p+1 حيث p عدد صحيح طبيعي.

1 +(n² = (2p+1)² = 4p² + 4p + 1= 2 × (2p²+p                 

إذن n عدد فردي.
عددان متتابعان : ليكن n عدد صحيح طبيعي.

  n + (n + 1) = 2n + 1                 

n (n + 1) = n² + n                 

في حالة الجمع لدينا مجموع العددين المتتابعين يكتب على شكل 2n + 1 و بالتالي فهو عدد فردي، أما في حالة الضرب لدينا العددان n و n² لهما نفس الزوجية ( أنظر خاصية رقم 3 ) إذن n² + n سيكون زوجيا (أنظر خاصية رقم 1 ).

تمرين محلول :

           نص التمرين :
n عدد صحيح طبيعي
1) بسط العدد A حيث  : A =  (n + 1 )² - n²
2) أدرس زوجية العدد A
3) إستنتج أن كل عدد فردي يمكن كتابته على شكل فرق مربع عددين متتابعين.
4) أكتب 5 و 13 و 21 على شكل فرق مربع عددين متتابعين.
5) أحسب المجموع S حيث :

S = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2011 + 2013 + 2015

الجواب :

حل التمرين :

1) نبسط العدد A :

يمكنك أيضا تبيسط A عن طريق التعميل كمايلي :

2) زوجية العدد A :
العدد A يكتب على شكل 2n + 1 إذن فهو عدد فردي ( أنظر تعريف عدد فردي ).
3) الإستنتاج :
ليكن k عدد صحيح طبيعي فردي إذن يوجد عدد صحيح طبيعي n حيث : k = 2n + 1  أي أن  n = (k - 1)/2
بإستعمال نتيجة السؤال السابق و علما أن k فردي إذن يمكن كتابته على شكل فرق مربع عددين متتابعين :

لاحظ أن k +1)/2) و k - 1)/2) هما عددان صحيحان طبيعيان ( لأن k فردي و بالتالي العدد الذي سيليه k+1 سيكون زوجي أي أن k+1 يقبل القسمة على 2، ... الأمر نفسه بالنسبة ل k-1 ).
أيضا يمكنك ملاحظة أن العددين k +1)/2) و k - 1)/2) متتابعين (نحسب الفرق و نجده يساوي 1) :

4) كتابة  5 و 13 و 21 على شكل فرق مربع عددين متتابعين :
5 يكتب على شكل 1 + 2 × 2 أي أن n = 2 إذن حسب ما سبق لدينا :

5 = ( 2 + 1 )² - 2² = 3² - 2²        ( Vérification : 3² - 2²= 9 – 4 = 5 )

13 يكتب على شكل 1 + 6 × 2 أي أن n = 6 إذن حسب ما سبق لدينا :

5 = ( 6 + 1 )² - 6² = 7² - 6²        ( Vérification : 7² - 6²= 49 – 36 = 13 )

21 يكتب على شكل 1 + 10 × 2 أي أن n = 10 إذن حسب ما سبق لدينا :

5 = ( 10 + 1 )² - 10² = 11² - 10²        ( Vérification : 11² - 10²= 121 – 100 = 21 )

5) حساب المجموع : S = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2011 + 2013 + 2015
لدينا

                               1 = 1² - 0²

                               3 = 2² - 1²

                               5 = 3² - 2²

                               7 = 4² - 3²

                               ….

                               2011 = 1005² - 1004² ( car 2011 = 2 x 1005 + 1 )

                               2013 = 1006² - 1005² ( car 20013 = 2 x 1006 + 1 )

                               2015 = 1007² - 1006² ( car 2015 = 2 x 1007 + 1 )

نجمع المتساويات طرف بطرف فنجد أن :

S=(1² - 0²)+(2² - 1²)+(3² - 2²)+(4² - 3²)+ …+(1005² - 1004²)+(1006² - 1005²)+(1007² - 1006² )

بعد إزالة الأقواس نحصل على :

S = 1² - 0²+ 2² - 1² + 3² - 2² + 4² - 3² + …… + 1005² - 1004² + 1006² - 1005² + 1007² - 1006²

نختزل الحدود المتقابلة ( 1² و 1²-  ثم 2² و 2²- حتى ..... 2006² و 2006²- ) فنحصل على :

                               S = - 0²+ 1007² 
                               S = 1007² 
                               S = (1000  + 7)²
                               S = 1000² +  2×7×1000  + 7²

                               S = 1 000 000 + 14 000 + 49 
                               S = 1 014 049