تطبيقات و تمرين محلول على الأعداد الزوجية و الأعداد الفردية

MOHAMED KHOUKHI
في هذا الدرس جميع الأعداد المستعملة هي صحيحة طبيعية ( 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...).  سنميز بين نوعين من هذه الأعداد : الزوجية منها و الفردية، ثم نستعرض خاصيات العمليات الأربع على  الأعداد الزوجية و الفردية مشفوعة بأمثلة تطبيقية وبراهين و تمرين محلول :
تطبيقات و تمرين محلول على الأعداد الزوجية و الأعداد الفردية

1- تعريفات و خاصيات أساسية :

1.1- العدد الزوجي - العدد الفردي :

تعريف 1:
          تعريف  1   :
العدد الزوجي هو عدد من مضاعفات العدد 2.
بتعبير أخر : ﻧﻘﻮل إن اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ a ﻋﺪد زوﺟﻲ
إذا وﻓﻘﻂ كان ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ k ﺣﻴﺚ a = 2k
(عدد صحيح ) × 2 = عددزوجي     .
أمثلة 1:
0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 34 ، 20648 ... هي أعداد زوجية.
3 × 2 = 6      ،       17 × 2 = 34       ،       10324 × 2 = 20648 
العدد الزوجي حتما ينتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.
تعريف 2:
        تعريف  2   :
العدد الفردي هو عدد غير زوجي.
بتعبير أخر : ﻧﻘﻮل إن اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ b ﻋﺪد فردي
إذا وﻓﻘﻂ كان ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ n ﺣﻴﺚ 1 +b = 2n
1 + (عدد صحيح ) × 2 = عدد فردي .
أمثلة 2:
1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 29 ، 8641 ... هي أعداد فردية.
1 + 0×2 = 1        ،         1 + 3×2 = 7      ،        1 + 14×2 = 29
العدد الفردي حتما ينتهي ب 1 أو 3 أو 5 أو 7 أو 9.
        هام :
دراسة زوجية عدد تعني : تحديد هل العدد زوجي أم فردي
عددان لهما نفس الزوجية يعني إما هما فرديان معا أو زوجيان معا.

1.2- جمع الأعداد الزوجية و الفردية

ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال : 10 = 4 + 6 
عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال : 8 = 3 + 5
ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: 9 = 4 + 5  
عدد زوجي+ عدد فردي = عدد فردي، مثال: 15 = 13 + 2 
خاصية 1:
          خاصية 1  :
  • مجموع عددين صحيحين طبيعيين لهما نفس الزوجية هو عدد زوجي.
  • مجموع عددين صحيحين طبيعيين مختافي الزوجية هو عدد فردي.
يمكن أن نلخص هذه الخاصية في الجدول التالي :
فردي زوجي +
فردي زوجي زوجي
زوجي فردي فردي

1.3- ضرب الأعداد الزوجية و الفردية

ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي.
عدد زوجي × عدد زوجي = عدد زوجي، مثال : 16 = 2 × 8 
ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي.
عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي، مثال : 21 = 3 × 7
ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي و أخر فردي، عدد زوجي.
عدد فردي × عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: 20 = 4 × 5 و 26 = 13 × 2
خاصية 2 :
          خاصية  2   :
الحالة الوحيدة التي يكون فيها جداء عددين صحيحين طبيعيين فرديا هي عندما يكونان معا فرديان .
يمكن أن نلخص ذلك في الجدول التالي :
فردي زوجي ×
زوجي زوجي زوجي
فردي زوجي فردي
البرهان على الخاصية 1 و 2
ليكن a و b عددان صحيحان طبيعيان.
إذا كان a و b  زوجيان فإنه يوجد عددان صحيحان طبيعيان k و 'k حيث :
a = 2k     و    ' b = 2k
('a + b = 2k + 2k' = 2×(k+k                 
'a × b = 2k × 2k' = 2×kk                 
إذن a + b و ab عددان زوجيان.
إذا كان a و b  فرديان فإنه يوجد عددان صحيحان طبيعيان k و 'k حيث :
1 + a = 2k   و  1 +' b = 2k
1 +('a + b = 2k + 1 + 2k' + 1= 2×(k+k                 
 a × b = (2k+1)(2k'+1) = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2×(2kk' + k + k') + 1                 
إذن a + b و ab عددان فرديان.
إذا كان أحد العددين فرديا و الأخر زوجيا، مثلا :
1 + a = 2k   و  b = 2n
1 +(a + b = 2k + 1 + 2n= 2×(k+n                 
(a × b = 2n(2k+1) =2×( 2nk + n                 
إذن a + b فردي و ab زوجي.

1.4 مربع عدد زوجي أو فردي

مربع عدد زوجي هو عدد زوجي، مثال : 16 = 4²
مربع عدد فردي هو عدد فردي ، مثال : 9 = 3²
خاصية 3:
          خاصية  3   :
n عدد صحيح طبيعي:
إذا كان n فرديا فإن n² فرديا و إذاكان n زوجيا فإن n² زوجيا.

1.5 عددان متتابعان

عددان صحيحان متتابعان يكون فرقهما هو 1، فمثلا إذا كان n هو العدد الأول فإن العدد الذي يليه هو n +1 و العدد الذي يسبقه هو n-1.



تابعه   العدد سابقه

 ....
 n + 2
 n + 1
 n
 n - 1
 n - 2
 ...
خاصية 4:
          خاصية 4   :
  • مجموع عددين صحيحين طبيعيين متتابعين هو عدد فردي.
  • جداء عددين صحيحين طبيعيين متتابعين هو عدد زوجي.
البرهان على الخاصية 3 و 4 :
المربع : ليكن n عدد صحيح طبيعي.
إذا كان n زوجيا فإن n يكتب على شكل n = 2k حيث k عدد صحيح طبيعي.
(n² = (2k)² = 4k² = 2 × (2k²                 
إذن n عدد زوجي.
إذا كان n فرديا فإن n يكتب على شكل n = 2p+1 حيث p عدد صحيح طبيعي.
1 +(n² = (2p+1)² = 4p² + 4p + 1= 2 × (2p²+p                 
إذن n عدد فردي.
عددان متتابعان : ليكن n عدد صحيح طبيعي.
  n + (n + 1) = 2n + 1                 
n (n + 1) = n² + n                 
في حالة الجمع لدينا مجموع العددين المتتابعين يكتب على شكل 2n + 1 و بالتالي فهو عدد فردي، أما في حالة الضرب لدينا العددان n و n² لهما نفس الزوجية ( أنظر خاصية رقم 3 ) إذن n² + n سيكون زوجيا (أنظر خاصية رقم 1 ).

تمرين محلول :

           نص التمرين :
n عدد صحيح طبيعي
1) بسط العدد A حيث  : A =  (n + 1 )² - n²
2) أدرس زوجية العدد A
3) إستنتج أن كل عدد فردي يمكن كتابته على شكل فرق مربع عددين متتابعين.
4) أكتب 5 و 13 و 21 على شكل فرق مربع عددين متتابعين.
5) أحسب المجموع S حيث :
S = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2011 + 2013 + 2015
الجواب :
حل التمرين :
1) نبسط العدد A :
يمكنك أيضا تبيسط A عن طريق التعميل كمايلي :
2) زوجية العدد A :
العدد A يكتب على شكل 2n + 1 إذن فهو عدد فردي ( أنظر تعريف عدد فردي ).
3) الإستنتاج :
ليكن k عدد صحيح طبيعي فردي إذن يوجد عدد صحيح طبيعي n حيث : k = 2n + 1  أي أن  n = (k - 1)/2
بإستعمال نتيجة السؤال السابق و علما أن k فردي إذن يمكن كتابته على شكل فرق مربع عددين متتابعين :
لاحظ أن k +1)/2) و k - 1)/2) هما عددان صحيحان طبيعيان ( لأن k فردي و بالتالي العدد الذي سيليه k+1 سيكون زوجي أي أن k+1 يقبل القسمة على 2، ... الأمر نفسه بالنسبة ل k-1 ).
أيضا يمكنك ملاحظة أن العددين k +1)/2) و k - 1)/2) متتابعين (نحسب الفرق و نجده يساوي 1) :
4) كتابة  5 و 13 و 21 على شكل فرق مربع عددين متتابعين :
5 يكتب على شكل 1 + 2 × 2 أي أن n = 2 إذن حسب ما سبق لدينا :
5 = ( 2 + 1 )² - 2² = 3² - 2²        ( Vérification : 3² - 2²= 9 – 4 = 5 )
13 يكتب على شكل 1 + 6 × 2 أي أن n = 6 إذن حسب ما سبق لدينا :
5 = ( 6 + 1 )² - 6² = 7² - 6²        ( Vérification : 7² - 6²= 49 – 36 = 13 )
21 يكتب على شكل 1 + 10 × 2 أي أن n = 10 إذن حسب ما سبق لدينا :
5 = ( 10 + 1 )² - 10² = 11² - 10²        ( Vérification : 11² - 10²= 121 – 100 = 21 )

5) حساب المجموع : S = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2011 + 2013 + 2015
لدينا
                               1 = 1² - 0²
                               3 = 2² - 1²
                               5 = 3² - 2²
                               7 = 4² - 3²
                               ….
                               2011 = 1005² - 1004² ( car 2011 = 2 x 1005 + 1 )
                               2013 = 1006² - 1005² ( car 20013 = 2 x 1006 + 1 )
                               2015 = 1007² - 1006² ( car 2015 = 2 x 1007 + 1 )
نجمع المتساويات طرف بطرف فنجد أن :
S=(1² - 0²)+(2² - 1²)+(3² - 2²)+(4² - 3²)+ …+(1005² - 1004²)+(1006² - 1005²)+(1007² - 1006² )
بعد إزالة الأقواس نحصل على :
S = 1² - 0²+ 2² - 1² + 3² - 2² + 4² - 3² + …… + 1005² - 1004² + 1006² - 1005² + 1007² - 1006²
نختزل الحدود المتقابلة ( 1² و 1²-  ثم 2² و 2²- حتى ..... 2006² و 2006²- ) فنحصل على :
                               S = - 0²+ 1007² 
                               S = 1007² 
                               S = (1000  + 7)²
                               S = 1000² +  2×7×1000  + 7²
                               S = 1 000 000 + 14 000 + 49 
                               S = 1 014 049





تعليقات فيسبوك

Google+ Pinterest