جدوع: تطبيق و تمرين محلول للقيمة المطلقة في حل المعادلات

القيمة المطلقة لعدد حقيقي نكتبها بين عارضتين عموديتين، مثلا القيمة المطلقة للعدد الحقيقي x نكتبها | x | و هي تساوي x  إذا كان x موجبا و تساوي x- إذا كان x سالبا. في هذا الدرس نعطي تعريفا للقيمة المطلقة ونذكر بمفهوم مسافة عدد عن الصفر ثم نستعرض خاصية هامة يتم توظيفها في حل المعادلات  التي تتضمن القيمة المطلقة.

القيمة المطلقة لعدد حقيقي - مسافة عدد عن 0  : 

1-  ترميزات + تعريفات وخاصيات + أمثلة :

         تعريف :

القيمة المطلقة لعدد حقيقي موجب x هي x نفسه : x | =  x |

مثال : 3 = | 3 | و 9.81 = | 9.81 |

القيمة المطلقة لعدد حقيقي سالب x هي مقابل x  | = -x    : x |

مثال : 5- = | 5- | و 13- = | 13-|

         نتائج هامة  :

  1) القيمة المطلقة لعدد حقيقي تكون دائما موجبة :

لكل x من  IR لدينا : 0  ≤ | x |

  2)  x عدد حقيقي :
إذا كان 0  ≥  x   فإن : x | =  -x |
 إذا كان 0  ≤  x    فإن : x | =  x |

ملاحظـــة هامة : x- هو إذن عدد موجب.
يجب أن نفهم أنه إذا كان مثلا  x = -3 فإن 3 = (x = - (-3- أي أن x > 0-.

2- مفهوم المسافة عن الصفر :

         تعريف :

  على المسقيم المدرج، القيمة المطلقة لعدد حقيقي تساوي مسافة هذا العدد عن الصفر
نرمز لمسافة عدد حقيقي a عن الصفر ب (d(0 ; a ونكتب | d(0 ; a) = | a 

أمثلــــة :

نكتب: 4.5  =  | d(0 ; 4.5) = | 4.5

نكتب : 2.5  =  | d(0 ; -2.5) = | -2.5

نكتب : 3 =| 3 - |  = | d(0 ; 3) = d(0 ; -3) = | 3

جرب بنفسك ( أسحب النقطة الحمراء )

ملاحظـــة هامة : عددان متقابلان لهما نفس المسافة عن الصفر أي أن :| x | = | -x |  لكل x عدد حقيقي.

         خاصية :

  x و y عددان حقيقيان :

مثــــال :
3.8  = | x |  تعني أن  x = 3.8 أو x = -3.8
3.8  = | x |  هي معادلة بمجهول x و مجموعة حلولها تتضمن العددين 3.8 و 3.8-.

3- تطبيق على حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة

           تمرين :

حل في IR المعادلات التالية :

الحــــل :

إذن حلي هذه المعادلة هما : 17/2 و 11/2- و نكتب   {  17/2  ;  11/2-  } = S  حيث S هي مجموعة حلول هذه المعادلة.

إذن حلي هذه المعادلة هما : 8- و 2/5- و نكتب {  8-  ;  2/5-  } = S  حيث S هي مجموعة حلول هذه المعادلة.

مجموعة حلول هذه المعادلة فارغة لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة ( أنظر نتيجة رقم 2 )

إذن هذه المعادلة تقبل حلا و حيدا هو : 8- و نكتب {  8-  } = S  حيث S هي مجموعة حلول هذه المعادلة.