جدوع: كيف نحدد القاسم المشترك الأكبر لعددين

في الرياضيات، القاسم المشترك الأكبر لعددين هو أكبر قاسم يوجد في مجموعتي قواسم هذين العددين، فمثلاً القاسم المشرك الأكبر للعددين  45 و 54 هو 9 لأن: {1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} =  D45  و { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54} =  D54 . في هذا الدرس نذكر بتعريف القاسم المشترك الأكبر لعددين و نتناول طرق تحديده :

تعريف و تذكير

تعريف :

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعين a و b هو أكبر قاسم مشترك ل a و b من بين القواسم المشتركة ل a وb و يرمز له ب : أو (Δ(a ; b أو (PGCD(a ; b

PGCD : Plus Grand Commun Diviseur

أمثـلــة :

ملاحظات :

a ﻋﺪد ﺻﺤﻴح ﻃﺒﻴﻌـي

• PGCD (a ; 1) = 1
• PGCD (a ; a) = a

طرق تحديد القاسم المشترك الأكبر لعددين :

الطريقة 1 :

وهي الطريقة التي شاهدتها في الفيديو و التي تعتمد على تحديد جميع عناصر مجموعتي قواسم العددين ثم نحدد أكبر قاسم مشترك بينها. هذه الطريقة تستعمل عادة إذا كان الأعداد المعطاة صغيرة و بسيطة.

الطريقة 2 : بواسطة التفكيك إلى جداء عوامل أولية

نفككك العددين إلى جداء عوامل أولية ثم نطبق الخاصية التالية :

إذا كنت لاتعرف طريقة التفكيك الى جداء عوامل اولية أنقر هنا .
     خاصية :

    اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷكبر ﻟﻌﺪدﻳﻦ هﻮ ﺟﺪاء اﻟﻌﻮاﻣﻞ اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﺸﺘﺮكة ﺑﻴﻦ ﺗﻔﻜﻴﻜﻲ هﺬﻳﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ إﻟﻰ ﺟﺪاء ﻋﻮاﻣﻞ أوﻟﻴﺔ و اﻟﻤﺮﻓﻮﻋﺔ إﻟﻰ أﺻﻐﺮ أس.

مثــــــال : حدد القاسم المشترك الأكبر ل 320 و 240 ثم إختزل الكسر 240/320

إذا حسبنا القاسم المشترك الأكبر للعددين 240 و 320 يمكننا إختزال الكسر240/320 إختزالا نهائيا بقسمة بسطه و مقامه على 80 : 

الطريقة 3 : خوارزمية الفروق المتوالية

المبدأ في هذه الطريقة هو أنه إذا كان d قاسما للعددين a و b فإنه أيضا قاسما لفرقهما a-b :
راجع في هذه الصفحة :  خواص المضاعفات و القواسم

مثــــــال : حدد   (PGCD(320 ; 240
لدينا : 80 = 240 - 320
إذن القاسم المشترك الأكبر للعددين 240 و 320 يقسم 80
نتابع حساب الفرق بين الناتج المحصل عليه و أصغر حد من حدي الفرق السابق
160 = 80 - 240
80 = 80 - 160
0 = 80 - 80
القاسم المشترك الأكبر سيكون هو ناتج عملية الفرق التي تعلو 0 ( أخر فرق غير منعدم)
إذن : 80 = (PGCD(320 ; 240

الطريقة 4 : خوارزمية إقليدس

المبدأ نفسه كما في الطريقة السابقة إلا أننا سنقوم بقسمات متوالية كما في المثال التالي :

مثــــــال : حدد   (PGCD(320 ; 240
 ? = 240 ÷ 320 نحصــــل على : 160 + 1 . 240 = 320
نقسم أصغر العددين في القسمة السابقة على باقي القسمة
? = 240 ÷ 320  نحصــــل على : 80 + 1 × 160 = 240
? = 80 ÷ 160  نحصــــل على : 0 + 1 × 80 = 160
القاسم المشترك الأكبر سيكون هو أخر باقي غير منعدم اي 80
إذن : 80 = (PGCD(320 ; 240